...

Estimación por MCG

by user

on
Category: Documents
1

views

Report

Comments

Transcript

Estimación por MCG
Capitulo 6:
Heteroscedasticidad
Definición y causas de heteroscedasticidad
Contrastes de heteroscedasticidad: White,
Goldfeld-Quandt y Breusch-Pagan
Estimación por MCG
Información
• Estos transparencias no son completas.
• La idea con las transparencias es dar una
estructura general y asegurar que gráficos
y ecuaciones están reproducidos
correctamente.
• Cada estudiante debe tomar notas
adecuadas para completar las
transparencias.
Definición
• Definición: la varianza de la perturbación
no es constante.
• Ejemplo: ingresos – gastos.
Causas
• La naturaleza de la relación entre las
variables
• La transformación de variables
• La omisión de variables relevantes
Contrastes de heteroscedasticidad
Estructura general;
1. la hipótesis nula es homoscedasticidad.
2. la construcción está basada en los
residuos de la estimación por MCO (sin
considerar la posible heteroscedasticidad).
Contrastes de heteroscedasticidad
Contrastes de heteroscedasticidad
• Goldfeld-Quandt
Puede ser útil cuando la
heteroscedasticidad depende de una
única variable.
Contrastes de heteroscedasticidad
Goldfeld-Quandt
1)
2)
3)
4)
V E2
GQ( F[n2  k , n1  k ]) 
V E1
 H 0 :  i2   u2

2
2
H
:



u xi
 A i
Contrastes de heteroscedasticidad
Breusch-Pagan
Puede ser útil cuando la
heteroscedasticidad depende de una
función de variables.
Contrastes de heteroscedasticidad
Breusch-Pagan
1)
2)
gi 
gi  1   2 z2i  ...   p z pi  vi
ei2
n
1
e
2
i
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
VE  g ' g  ( Z )' ( Z )   ' Z ' g  g ' Z ( Z ' Z ) Z ' g
3)
VE
BP (  [ p  1]) 
2
A
2
H 0 :  i2   u2  1

2
H
:

 A i  f (Z )
Contrastes de heteroscedasticidad
Breusch-Pagan (Koenker y Bassett, 1982)
e  1   2 z2i  ...   p z pi  vi
2
i
A
VE
BP (m)(  [ p  1])  m
m
2
1 N 2
m   (ei  n1  ei2 )2
N i 1
H 0 :  i2   u2  1

2
H
:

 A i  f (Z )
1
VEm  (u  u i )' Z(Z' Z) Z' (u  u i )
u  (e12 , e22 ,..., en2 )
i  11 ,...1n
u  e' e / n
Contrastes de heteroscedasticidad
White
Puede ser útil cuando la
heteroscedasticidad depende de una
función de variables.
Contrastes de heteroscedasticidad
White
1)
2)
3)
k
k
j 2
j 2
e  1   j x ji    j ( x ji )2   s ,t ( xsi xti )  vi
2
i
s ,t
2
2

H
:



2
2
0
i
u  1
W (  [ p  1])  NR* 
2
H
:

 A i  f (Z )
Estimación por MCG: Mínimo
cuadrados ponderados
ˆ MCG  ( X '  1 X ) 1 X '  1 y
var( ˆ MCG )   2 ( X '  1 X ) 1
2
donde :  2  s MCG
• Necesitamos saber
e´ 1e

nk

Estimación por MCG: Mínimo
cuadrados ponderados
y  X  u, E (uu´)   
2
y*  X *  u* , E (u*u*´)   I
2
donde : y*  Ty, X*  TX, u*  Tu
Estimación por MCG: Mínimo
cuadrados ponderados
• Perturbación conocida: (Ejemplos)
(i )  i2   2 x 2i
(ii )  i2   2 x 22i
(iii )  i2   2 ( x 2i  x3i )
k
(iv )  i2   2  x ji
j 2
Estimación por MCG: Mínimo
cuadrados ponderados
(1) la estructura de la varianza para (ii) es la matriz,
 x22,1

2
2 0
E (uu ' )      u
 

 0
0
x22, 2

0
0 

 0 
  
2 
 x2, N 

(2) el caso de transformación de variables, agregadas,
(…)
(3) el caso de transformación de variables, promedios,
(…)
Estimación por MCG: Mínimo
cuadrados ponderados
• Con esta información se defina la matriz T
para transformar el modelo.
1 / x22,1
0

2
0
1
/
x
2
,2
 1  
 


0
 0



0 

 
2 
 1 / x2, N 

0
1 / x2,1
0

0
1 / x2 , 2

T
 


0
 0
• Recuerda que T´T   1 .



0 

 

 1 / x2, N 

0
Estimación por MCG: Mínimo
cuadrados ponderados
• Estimador de mínimos cuadrados ponderados
1

 n

β̂   wi xi xi '  wi xi yi 
 i 1
  i 1

n
donde
1
wi  2
x 2 ,i
• Observaciones con varianza más pequeña tiene
un peso mas elevada en la sumatoria y así
también en su influencia en el estimador.
Estimación por MCG
• Perturbación desconocida: 1a etapa:
Estimar los parámetros de la función de la
varianza.
• Estimar por MCO la regresión auxiliar ,
ei
ei2   1   2 x 2i  vi
donde
representa
los residuos de la estimación MCO del
modelo original, sin tener en cuenta la
posible heteroscedasticidad.
Estimación por MCG
0
ˆ1  ˆ 2 x2,1

0
ˆ1  ˆ 2 x2, 2
ˆ 





0
0




0





 ˆ1  ˆ 2 x2, N 

0
1 /(ˆ1  ˆ 2 x2,1 )

0
1 /(ˆ1  ˆ 2 x2, 2 )
1

ˆ
 




0
0

0



0





 1 /(ˆ1  ˆ 2 x2, N )

1 / (ˆ1  ˆ 2 x2,1 )
0

0
1 / (ˆ1  ˆ 2 x2, 2 )

Tˆ  




0
0
0



0





 1 / (ˆ1  ˆ 2 x2, N ) 

0
Estimación por MCG
• 2a etapa: Aplica las formulas del
estimador MCG, es decir estimar la
relación T̂y  T̂X  T̂u por MCO.
yi
x2 i
xki
ui
1
 1
 2
 ...   k

ˆ1  ˆ 2 x2i
ˆ1  ˆ 2 x2i
ˆ1  ˆ 2 x2,1
ˆ1  ˆ 2 x2i
ˆ1  ˆ 2 x2i
Estimación por MCO: White
• Se puede estimar el modelo por MCO y
corregir la varianza.
var( ˆ MCO )   2 ( X ' X ) 1 X ' X ( X ' X ) 1 
1 2

N ( X ' X )   X ' X ( X ' X ) 1
N

1
1 2


X
'
X


N

e12

0
1

X'
N 

 0
0
e22

0
0

 0
X
 
2 
 e N 

Fly UP