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Cálculo de los modos electromagnéticos en \lna fibra óptica

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Cálculo de los modos electromagnéticos en \lna fibra óptica
ENSEÑANZA
REVISTA t\.lEXICANA DE FíSICA 47 (4) 386-391
AGOSTO 2001
Cálculo de los modos electromagnéticos en \lna fibra óptica mediante soporte
computacional analítico
A. Luis-Ramos. y E. Maní-Panameño
Facultad de Ciencias F(sico-Matemáticas, Benemérita Universidad Awónoma de Puebla
Apartada postal 1152, 72000 Puebla, Pue., Mexico
e-mail: [email protected]
H. Ramírez Díaz
Escuela de Ciencias Físico Matemáticas, Unil'ersidl1d AwónomQ de Sino/va
Ciudad Unh'ersitaria, Culiacán, Sil1., Mexico
Recibido el7 de diciembre de 2()(X);aceptado c125 de abril de 2001
En este trabajo. con base en la teoría electromagnética y empicando herramienta computacional simbólica, se determina la constante dc propagación de los modos c1cctromágncticos sop0rludos por una flbra óptica. El empIco de cómputo simbólico (r..1APLE), permilirá mostrar de
una mancra más accesible el estudio de los modos elcctromagnéticos, a diferencia de la forma tradicional de obtcnerlos. donde gcneralmente
se utilizan técnicas númericas. Se presenta la comparación de los resultados obtenidos con la ayuda de este sopone computacional y olros
ampliamente conocidos.
Descriptores: Enseñanza en fotónica; tlbras óptica; modos clectromagnéticos
We present. bascd on elcctromagnetic
theory and with tbe aid 01' symbolic computational tools (MAPLE), Ihe analysis al' the modal slructure
01' an aptical fiber. By these mean s, we can reduce (hc lahoriolls work that implics the abtaining of the electro-magnetic
fields of 'ln aptical
fiber. To demonstrate our purpose, we analyze the \vidcly known case of step profile, and compare our resuhs with Olhers abtaincd with
diffcrcnt mcthods. Our results are obtained in analytical and graphic formo
KeYlI'ords: Photonics tcaching; oplical fiber; clectromagnclic
modes
PAes: 01.40.Fk; 02.70.-c; 42.81.Dp
1. Introducción
La fabricación de fibras ópticas capaces de transmitir luz sobre distancias de cientos de kilómetros. estimuló el desarrollo
del análisis teórico de sus características de propagación [1].
Actualmente, debido al estado de continuo desarrollo de sistemas fotónicos basados en óptica integrada y en especial en
fibras ópticas, existe una creciente necesidad de analizar diseños con novedosas geometrías y perfiles de índice de refracción arbitrarios, con el fin de facilitar el diseño y optimización de dispositivos ópticos, tales como láseres, compuertas, acopladores, moduladores, cte., para su aplicación en
sistemas de generación y conmutación de señales ultrarrápidas [2,3].
Por ejemplo, durante las últimas tres décadas se han realizado numerosos esfuerzos para obtener: primero, la ecuación
de dispersión y, posteriormente, la separación de los modos
de propagación (HE y EH) para una guía de ondas cilíndrica
de doble recubrilllicnlo [~].
Aun cuando en principio, las ecuaciones de rv1axwell, y
en particular la ecuación de Helmholtz, conjuntamente con
las ecuaciones materiales y las condiciones de frontera, determinan las propiedades generales de propagación del campo
electromagnético, es a través de la obtención de la constante
de propagación como podemos determinar las características
de la n¡diación propagada; generalmente esta constante es determinada por técnicas numéricas [5-8].
En este trabajo se presenta el análisis de la obtención de
los modos electromagnéticos en una fibra óptica apoyados de
soporte computacional simbólico (MAPLE). El uso de éste
nos permitirá mostrar de manera más clara el estudio de los
modos electromagnéticos propagados en una guía de onda.
aspecto fundamental en el proceso de comprensión de uno de
los problemas básicos en el campo de la fotónica. También
podremos valorar las potencialidades de este apoyo para futuros desarrollos de fibras ópticas con perfiles de índices de
refracción más complejos, como pueden ser las fibras multicapa [9J.
En la siguiente sección se presenta una breve explicación
sobre las bases de la teoría de la propagación de la luz en
una fibra óptica: posteriormente presentamos una definición
de los modos electromagnéticos, se determina la forma de
obtenerlos y se analizan algunas de sus características. Por
último, se presentan los resultados obtenidos con el uso de
MAPLE y la comparación de éstos con otros ya conocidos.
2. Elementos teóricos de la propagación
de luz
Un campo electromagnético se describe por dos vectores de
campo relacionados entre sí: el campo eléctrico E(r, t) yel
campo magnético H(r, t). ambos son funciones vectoriales
de la posición y el tiempo. En general, requerimos de seis
funciones escalares de la posición y el tiempo [componentes
de los vectores E(r, t) y H(r, t)] para describir el comportamiento de la luz en un medio; sin embargo, estas seis
funciones se relacionan a través de las ecuaciones de Maxwell, las cuales, en un medio lineal, homogéneo, isotrópo,
CÁLCULO
DE LOS MODOS ELECTROMAGNÉTICOS
n
dispersiyo y libre de fuentes son representadas de la siguienle forma [10]:
Y' x H(r, t) =
BD(r, t)
Bt
Y' x D(r, t) = -
BH(r,t)
Bt
'
(2)
'
= 0,
(3 )
Y' . D(r, t)
=
(4)
0,
donde D(r, t) es el vector de desplazamiento eléctrico
y ll(r, t) es el vector de inducción magnética. A menos
que sea necesario, en lo sucesivo omitiremos la escritura de
las dependencias de los campos. A estas cuatro ecuaciones
es necesario agregar las relaciones constitutivas:
y
B
=
I,H,
donde las constantes t y Jl (unidades MKS) son la permiti.
vidad eléctrica y la permeabilidad magnética del medio, respectivamente. Para un medio óptico 11 = 1. Una condición
necesaria para que E y H satisfagan las ecuaciones de !\'1axwell es que cada una de sus componentes satisfaga la ecuación de onda [11]
~'E(
v
r, t
) _ 1 B'E(r, t)
Bt'
c2
~-+-~n,
(1)
Y'. B(r,t)
D =EE
387
EN UNA FIBRA ÓPTICA MEDIANTE SOPORTE ..
o,
(5)
donde la velocidad de la luz en el vaCÍo se define usualmente
por e = 1/ VltoEo. Si aplicamos la transformada de Fourier
a E(r, t), la ecuación de onda puede escribirse en el dominio
de las frecuencias como
(6)
esta ecuación es conocida como la ecuación de Helmholtz,
donde kZ
(2rr / .\)' es el número de onda en el vacío y n
es el índice de refracción del medio. La importancia de ésta
radica en que sus soluciones. en conjunto con las condiciones
de frontera, representan los modos electromagnéticos propagados en la guía de onda, que en el caso de nuestro estudio es
la fibra óptica, que es un medio dispersivo.
En este punto es importante introducir algunas definiciones que son básicas para el estudio de la estructura modal de
la fibra.
=
a
FIGURA l. Perfil del índice de refracción de la fibra óptica de índice
escalonado.
de que su distribución espacial no cambia con la propagación y donde los valores propios son los factores de fase exp(-jt'mz), donde 13m es la constante de propagación
de modorn.
Los modos de una fibra pueden ser clasificados principalmente en dos grupos. como modos guiados o confinados y
modos de radiación [8, 12]. En los sistemas de comunicación
de fibra óptica la transmisión de señales se lleva a cabo solamente a través de los modos guiados. Es por esta razón que
nuestra discusión se centrará exclusivamente en los modos
guiados en una fibra óptica de índice escalonado. Las características de esta última son presentadas en la siguiente sección.
2.2. La fibra óptica de índice escalonado
La geometría del perfi I de índice de refracción escalonado
de una fibra óptica es mostrado en la Fig. 1. Consiste de un
núcleo con índice de refracción nI de radio a y un recubrimiento con índice de refracción H2 de radio b. El radio b del
recubrimiento se escoge usualmente lo suficientemente grande tal que el campo de los modos confinados sea virtualmente
cero en r = b.
Debido a que el perfil del índice de refracción de la mayoría de las fibras es cilíndricamente simétrico, es convenien.
te representar la Ec. (6) en el sistema coordenado cilíndrico;
ahora las componentes de campo son representadas como
Er, E., E,. Hp' H. Y H,. La ecuación de HelmholtZ para
las componentes z de los vectores de campo es entonces
B'E,
Bp'
2.1. Fibra óptica y modos electromagnéticos
Un sistema lineal es completamente caracterizado por medio de entradas especiales que son invariantes al sistema; i.e.•
entradas que no son alteradas excepto por una constante multiplicativa al pasar a través del sistema. Estas entradas son
llamadas modos o funciones propias del sistema y las constantes multiplicativas son los valores propios; ellas son los
factores de atenuación o amplificación de los modos (10).
Con base en lo anterior, en el caso de la propagación en
fibras ópticas podemos definir un modo óptico como una solución específica estable de la ecuación de onda o de Helmholtz (6) con características propias. que satisface las condiciones de frontera adecuadas, que además posee la propiedad
r
1 BE,
1 B'E,
B'E,
'k'E-
+ p Bp + p2 B¡jJ2 + Bz' + no,
-
O.
(7)
Por simplicidad de escritura, se ha removido la tilde sobre
la componente del campo eléctrico y está implícita la depen.
dencia tanto de la frecuencia como de los parámetros espaciales (p, ¡jJ y z) de todas las componentes. La Ec. (7) está escrita para las componentes axiales Ez del vector de campo
eléctrico, se pueden escribir ecuaciones similares para las
otras cinco componentes Ep• Er/J'Hz, Hp• R.p. Sin embargo,
no es necesario resolver las seis ecuaciones debido a que sólo
dos componentes de las seis son independientes. En el caso
de la propagación de ondas en estructuras cilíndricas usualmente se resuelve primero para las componentes de campo Ez y Hz, posteriormente se expresa Ep• E4J' Hp Y H1J
ReJ'. Mex. Fis. 47 (4) (2001) 386-391
388
A. LUIS.RAMOS,
H. RAMiREZ DíAZ y E. MARTí.PANAMEÑO
en función de ellas. La Ec. (7) es fácilmente resuelta usando
el método de separación de variables escribiendo Ez como
E,(p, q" z)
=
F(p)<p(q,)Z(z).
(8)
O'z
OZ2
+ {J' Z
O',~
= O,
l' l'
(9)
,
(ID)
(11)
=
+c,}~,,(h1'): l' < a,
+ c,Y",(qr):
l'
>
(12)
(L,
donde CI' c2' C3 Y C4 son constantes reales, Jm, Ym, son
funciones Bessel de primera clase y Km' 1m son funciones
Bessel de segunda clase. Los parámetros h y q están definidos por
h2
=
k' - {J',
(13)
q'
=
(J' - k2
(14)
y
Una considerable simplificación ocurre cuando usamos
las condiciones de frontera, la cual dice que un modo guiado
debe ser finito en p = O Y tiende a cero en p = oo. Debido
a que Y",(kp) tiene una singularidad en l' = O, F(O) puede permanecer finita sólo si C2 = O. Similarmente, F(p) se
desvanece en infinito si C4 = O. La solución general de la
Ec. (1 1) es entonces de la forma
E
-
,-
{c,J",(hr)CXP(imq,)CXP(i{JZ): l' < a,
c3]{m(h1') cxp(imq,) cxp(i{Jz) : l' > a.
(15)
De la misma forma podemos obtener Hz. la cual satisface la
Ec. (11). De hecho, la solución es la misma, pero con diferentes constantes:
H.
-
=
<1
=
H
'
-,)F=O.
l'
c.Jm(h1') exp(imq,) exp(i{Jz) : l' < a,
{ c7]{m(hr)exp(imq,)cxp(i{Jz):
l' > a,
( 16)
Las otras cuatro componentes Ep' EcP• Hp Y HcP pueden
ser expresadas en función de Ez y Hz usando las ecuaciones
_-_¡_{J_(~E
W21'E - {J'
01"
E = w'
H
o
La Ec. (9) tiene una solución de la forma Z
cxp(i{Jz),
donde j3 tiene el significado físico de la constante de propagación. Similarmente. la Ec. (lO) tiene una solución de la
forma ~ = cxp(irrup); aquí la constante 1/1 es restringida a
tomar sólo valores enteros puesto que el campo debe ser periódico en 4> con un período de 21r.
La Ec. (11) es la ecuación diferencial de Bessel y sus
soluciones son llamadas funciones Bessel de orden m, por lo
que para el caso de la fibra óptica de índice escalonado la solución general en el núcleo y el recubrimiento estará dada por
F(p) = {c,J",(h1')
c3Jm(qr)
=
P
Oq,' + '" ,~= O,
1'-
E
p
Usando las Ecs. (7) y (8) obtenemos tres ecuaciones di.
ferenciales ordinarias:
.,
O--F
1 OF
2 22m
-0"+--0
+(nko-{J
de MaxweII. En la región del núcleo, obtenemos
-i{J
¡tE -
=
-
( 17)
w_'
{J pO</>
'
,
(~E
_ ~H )
pOq,'
(~H
_ pO</>
~E ' ) ,
O,.'
WI'
{J2
-i{J
W'llE
+ I'_O_H)
{J 01'
,
( 18)
,
WE
{J'
(19)
(J
_-_,_{J_(_O_H
W21lE - {J'
1'Oq,'
+ W_ll~E
{J 01'
)
,
(20)
.
En este punto, introducimos los así llamados parámetros
modales adimensionales, para el núcleo y el recubrimiento U
y lV, respectivamente. Estos están definidos por
U
= 1'h
Y
IV
= rq.
(21)
Teniendo en cuenta las relaciones anteriores, en la siguiente sección presentamos la forma de obtener los valores
para dichos parámetros modales.
2.3. Obtención de modos
Para obtener los modos, hacemos uso de las componentes
axiales de las amplitudes complejas de los campos eléctrico
y magnético E:;, Hz, E¡j)' Hq;' Er Y Hr. La condición de
que las componentes Ez' Hz, Erj) Y Hf/J deben ser continuas
en la frontera núcleo-recubrimiento, establece una relación
entre los coeficientes de proporcionalidad de las componentes. Esta formulación proporciona un sistema de ecuaciones,
el cual nos permite obtener una condición consistente para
determinar la constante modal de propagación {3; i.e., una
ecuación de eigenvalores, a la cual después de aplicarle algunos procedimientos algebraicos se expresa de la siguiente
forma:
J'm (U)
[U J",(U)
+TH ]{'
[n'
(IV) ] lm+mm
J' (U)
IV ](m(lV)
U.Jm(U)
n
2
]('
(IV)]
IV ](",(IV)
=
donde la prima indica la diferenciación con respecto al argumento.
La ecuación anterior llamada ecuación característica o relación de dispersión, es una función trascendental de f3 para cada Tn. Para cada índice azimutal m, la ecuación característica tiene soluciones múltiples que producen constantes
de propagación discretas f3mn, con Tt = 1,2, ... ; cada una de
estas soluciones representa un modo. Los correspondientes
valores de U y lV, los cuales gobiernan la distribución espacial en el núcleo y recubrimiento, respectivamente, son determinados y denotados como Umn y IVmn- Por lo tanto, un
modo se describe por los índices m y n caracterizando su
distribución azimutal y radial, respectivamente.
Rev. Mex. Fis. 47 (4) (2001) 386-391
CÁLCULO DE LOS MODOS ELECTROMAGNÉTICOS
389
EN UNA FIBRA ÓPTICA MEDIANTE SOPORTE ...
2.4. Características de los modos
estas dos ecuaciones nos proporcionan dos clases de solucio-
Existen dos clases de soluciones que pueden ser obtenidas
de la Ec. (22), nótese que es una ecuación cuadrática en
J:n(U)jUJ",(U).
y cuando resolvemos para esla relación,
obtenemos dos diferentes ecuaciones correspondientes a las
dos raíces de la ecuación. Los valores propios resultantes de
__________
~I
nes que son designadas convencionalmente como modos EH
y HE, dependiendo de si H:; ó Ez predomina. Estos tipos
de modos son modos híbridos, los cuales para m = O son
análogos al modo Iransversal eléctrico (TE) con E,
O
y al modo transversal magnético (TM) con E:;
O en las
guías planares. Podemos obtener las relaciones anteriores rcsolviendo la Ec. (22) para J;"(U)jU J",(U). entonces
J' (U)
UJ:n(U)=-
(n;
+ n;)
f{' (1\')
2"¡-
IV/{'",(1V):l:
[(ni 2,,;- fl~)'+
usando las relaciones de recurrencia para las funciones de
Bessel [8]
(24 )
(f{:,,(IV»)'
IV f{", (IV)
m' ({3)' (1
+,,;
ko
Modos EH:
J",+, (U)
UJ",(U)
,,;-n~)
(
Modos HE:
J",_, (U) __
U J m (U)
f{:,,(IV)
2n'1
IV K (IV)
111
(";+fl~)IV K
K:n(1V)
2n'1
m
(IV)
_1__
+ U'
.
(26)
R
(27)
'
que son las relaciones para los modos en la fibra óptica de
índice escalonado y donde
R-
(,,¡+n~)'[
2n;
K:n(1V)
IVf{",(IV)
]'
+
(!.!!!!...)'(_1 _1)
n,ko
IV'+U"
Una vez concluido este procedimiento de separación de los
modos estamos listos para obtener los valores numéricos de
los diferentes parámetros de interés en el análisis de la estructura modal de la guía de onda.
3. Resultados
Dado que la gran mayoría de los sistemas de telecomunicaciones ópticas están basados en fibras ópticas can perfiles de
índices de refracción escalonados y que además son monomodales, es decir propagan sólo el modo fundamental HEII•
hemos escogido éstos para ejemplificar la eficacia de nuestro
trabajo. Este modo se obtiene a partir de la Ec. (22) haciendo m
O, que luego de realizar algunas simplificaciones
algebraicas toma la forma
=
U J¡{U)
= IV /(,
Jo(U)
(IV)
/(0(11')'
(28)
donde U y 1J' están relacionados por
¡r'
= IV'
+ U',
(29)
1 )']
'/'
(23)
•
aquí V es un parámetro que juega un papel importante en
la determinación de las condiciones de corte, definido por
medio de la relación
(30)
el cual es llamado frecuencia normalizada o simplemente parámetro V, Y ko es el vector de propagación en el vacío. Para
un valor deleflninado de \', la Ec. (26) determina el valor
de U para cada modo HE
que puede propagarse. El valor
más pequeño dc U corresponde al modo fundamental HE11
referido anteriormente y los valores mayores de U corresponden a valores más grandes de 11l. Debido a que la Ec. (26) es
trascendental, usualmente se resuelve por medio de técnicas
numéricas. En los marcos del presente trabajo, esto se realiza de manera alternativa haciendo uso de la ayuda computacional inicialmente mencionada. Puesto que pretendemos trabajar con un ambiente amigable para la solución de nuestro
problema, buscarnos un paquete de fácil acceso que nos proporcione un adecuado ambiente para el rápido desarrollo de
programas usando funcioncs especiales (cilíndricas), operación simbólica que nos permita realizar cambios en nuestras
variables sin tener que cambiar la estructura básica de nuestro
programa; MAPLE ofrece una buena opción además de que
podcmos tener información detallada de lo que el proceso o
comando empleado esté realizando.
En el programa realizado en MAPLE Ver. 6 (ejecutado
bajo sistema operativo Linux en una máquina con procesador
dual Pentium 111Xeon a 550 Mhz) para obtener los valores
numéricos de los parámetros. se introducen las fórmulas de
varios de éstos, que son de interés en el análisis de la estructura modal y la propagación de la luz en la fibra, como son
la fracción de potencia en el núcleo n, el parámetro de distorsión Di .••y la corrección de polarización y, obviamente, la
ecuación de eigenvalores (28), con la cual se determinará el
valor númerico de los parámetros modales U y iJ'. Con el objeto de lener un fácil acceso a los parámetros que se manejan,
éstos son presentados en la Tabla I. Es importante mencionar
que aunque estos parámetros juegan un papel importante dentro del estudio de la estructura modal y de la propagación de
la luz dentro de la fibra, el análisis del comportamiento de los
datos obtenidos están fuera de los objetivos de este trabajo.
Los resultados obtenidos se presentan a continuación.
l1ll
_1 _11
+ U'
IV'+U'
I
(25)
la Ec. (23) es ahora
=
=
ReI'. Mex. Fis. ~7 (4) (2001) 386-391
390
A. LUIS-RA~10S, H. RAMíREZ
DíAZ y E. MARTf-PANAMEÑO
TABI.A 1. Parámetros úlilizudos para la obtención de U, lV por medio de la ecuación de valores propios, así como la l'Orrccci6n de polarización. fracción de potencia en el nuclco. derivada del parámetro modal. parámetro de di~(orsión y parámetro de corte lOmados de Ref. 8.
/n(U)
( UJ",(U)
ECU¡lCión de valores propios
+
K;"(lV)
) (nIJ:,,(U)
11' K", (11")
UJ",(U)
U[lV'
'/ =
2
U H"
Parámetro de distorsión
[U
=
.1
U
2
D=2~a'i"V'2a+
obtenidos
por Snydcr 18]. para los paráme-
-00123
-0.0122
-0.0120
-0.0119
-00117
-0.0112
-0.0105
-0.0096
-0.0084
-0.0069
-0.0027
00039
0.01.\1
0.0298
0.0538
1.75
0.658
0.6575
0.106
0.108
0.110
0.113
0.116
0.122
0.127
0.134
0.141
0.148
0.165
0.184
0.208
0.236
0271
0.339
0.418
1.50
1.25
0.632
0.5580
0.5593
1.05
0.375
0.5392
0.3742
02126
-0.0123
-0.0122
-0.0120
-0.0119
-0.0117
-0.0112
-0.0106
-0.0097
0.0085
0.0070
0.0027
0.0039
0.0142
0.0300
0.0539
0.1160
0.2070
0.3540
0.106
0.108
0.110
0.113
0.116
0.121
0.127
0.134
0.140
2.30
2.00
0.9494
0.9477
0.9460
0.9443
0.9424
0.9385
0.9341
0.9293
0.9242
0.9184
0.9050
0.8885
0.8680
0.8422
0.8093
0.7407
0.6780
06768
4.00
1.907
1.902
1.896
1.890
1.885
1.873
1.860
1.847
1.834
1.819
1.788
1.753
1.714
1.670
1.619
1.528
l.434
1.317
1.168
1.021
1.9069
1.9015
1.8961
1.8905
1.8847
1.8728
1.8604
1.8473
1.8336
1.8192
1.7880
1.7532
1.7140
1.6697
1.6191
1.5282
l.4340
1.3168
1.1684
1.0207
3.516
3.462
3.408
3.354
3.300
3.191
3.082
2.973
3.863
2.753
3.532
2.310
2.086
1.860
1.634
1.290
1.003
0.718
0..145
3.5163
3.4622
3.4081
3.35.10
32997
3.1911
3.0820
2.9728
2.8632
0.370
0.372
0.374
0.376
0.378
0.380
0.384
0.388
0.390
0.394
0.398
0.402
0.402
0.400
0.392
0368
0.328
0.266
0.1776
0.0924
03695
0.3713
0.3732
3.95
3.90
0.3751
3.8,)
0.3767
0.3805
0.38.10
0.3873
0.3905
0.3934
0.3983
0.4015
0.4022
0.3996
0.3921
3.80
3.70
3.60
0.22,)
Unu de las primerus cuestiones a responder es lo relativo a
la precisión de los valores de los parámetros modales obtenidos de la ecuación de eigenvalorcs por medio de computación
simbólica y otros previamcnte obtenidos. La Tabla 1I presenta
la comparación entre los resultados obtenidos por Snyder [8}
para los coeficientes de propagación normalizados U, H' Y la
derivada de U. definidos en la Tabla 1, variando el parámetro
+ U2
0.949
0.9.18
0.946
0.9.14
0.9.13
0939
0.934
0.929
0.924
0.918
0.905
0.889
0.868
0.842
0.809
0.741
\
0.3675
]
d"
dUo
0.3287
0.2665
0.1769
0.0931
1.
3(1
0+211"-1
d
dU
2.50
2
- U
Uf2
Di."-
lV.
2.3100
2.0862
1.8607
1.6336
1.2902
1.0030
0.7181
0.4441
0.2.163
IV2
f2
U
Dis
IV
2.5324
3
0+
17-
U"
2.30
2.00
1.75
1.50
1.25
1.05
2
- U:
lF3
'/
U
2.7533
KI(lV)]
I - KJ(lV)
TAIiI.A (Ir. Resultados obtenidos por Snydcr (8], parala corrección
de polarización d. fracción de potencia en el núcleo ;¡. parámetro
de di~torsión Dis. definido en la Tabla 1. Las columnas marcadas
con. representan los resullados obtenidos con nuestra técnica.
\'
3.80
370
3.60
350
3.-10
3.30
3.10
2.90
2.70
V
v2 =
Iros modales Ü. W y la derivada del parámetro modal Ü dU. definidos en la Tabla 1. Las columnas marcadas con (-) representan los
rcsullados obtenidos con nucstra técnica.
3.90
ko
KI(lV)]
U[
di"'
Parámetro de corle
3.85
1)' + (1)']'(f3)'
U
IV
V Ti' + KJ(lV)
dU
Derivada del parámetro modal
3.9[)
,[(
=111
JU = 6V Ko(ll')
Fracrión de potencia en el núcleo
Ir. Resuhados
1I;'..K:"(1V))
11' K", (11')
UlV K¡(lV)
Corn:cción de polarización
TABLA
+
"
.1.00
3.[)0
3.40
3.30
3.10
2.90
2.70
2.50
0.539
0.1155
0.2065
0.3543
0.525
0669
0811
0.147
0.164
0.184
0.207
0.236
0.270
0.339
0.417
0.524
0.669
0.809
d~ corte F. rura ilustrar lu precisión de nuestra técnica. los
resultados se muestran hasta en cuatro cifras significativas.
Hay que notar la extremadamcnte alta precisión de nuestros
resultados tanto para los coeficicntes de propagación U, n.',
así como para la derivada de U. De la misma manera. la Tabla 111prescnta la comparación para la fracción de potencia
en el núcleo fl. el parámetro de distorsión Di", y la corrección
Re¡: Mex. Fís. 47 (4) (2001) 386-391
CÁLCULO
DE LOS MODOS ELEcrRO~lAGNÉTICOS
EN UNA FIBRA ÓPTICA MEDIANTE SOPORTE ...
391
medio de nuestro programa. En ésta se encuentran graficados los valores numéricos obtenidos de los parámetros de la
Tabla 1, para los modos TEOl, TAfo I , TE02' TAf02' l/ElI,
JIE12 , para valores determinados de los índices de refracción
1l
2.5 del núcleo y Hel
1.5 del recubrimiento. Aquí
eo
podemos observar como para valores de 'V menores a aproximadamente 2.405. sólo puede propagarse el modo HElI.
8
1'klo-2.S
Od-l.5
=
6
=
4. Conclusiones
4
u
HE
4
FIGURA 2. Valores numéncos
v
10
6
6
de las eCU:lClOncs
11
de valores propios
de la Tabla 1de los seis primeros modos de la fibra óptica de índice
escalonado, pam el parámetro modal U. ('on valores dClcrminadm.
de los índices de refracción 1lw = 2.5 del núcleo y llcl = 1.5 del
n.'l:uhrimicnlo.
de polarización d. Entre los resultados obtenidos por Snyder
y por nosotros se observa también una gran precisión para los
valores de la fracción de potencia en el núcleo; la aproximación de Snydcr coincide con lo proporcionado por la computación simbólica. Para el parámetro de distorsión observamos
una diferencia de a lo sumo ::i::: 0.1 unidades, la misma diferencia con respecto a la corrección de polarización.
Una cuestión importante en el estudio de los modos electomagnéticos es lo referente a la frecuencia de corte, esto es,
una frecuencia para la cual por debajo de ella sólo existe un
modo de propagación (lIE11 l, eslo lo podemos observarelaramente en la gráfica presentada en la Fig. 2, obtenida por
DiGiovanni
and t\.UI. Mucnder
Opl. Pllot. News
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Agradecimientos
Los autores agradecen a L.e. Gómez-Pavón y R. Pa.ada.
Alfonso por la lectura y sus valiosos comentarios en la revisión final del manuscrito.
8. A.W. Snydcr and J.D. Love, OpticcII \VaveguiJe Theory. (Chap.
man and lIall, London. 1983).
Bccario CO~ACyT.
1. E. Snitzer, 1. Opl. SoCo Am. 51 (1961) 491.
2. DJ.
Se presentó una forma alternativa de dar solución a las ecuaciones de eigenvalorcs, así como diferentes parámetros útiles
en el análisis modal de una fibra óptica de índice escalonado
con la ayuda de soporte computacional simbólico sin utilizar
técnicas numéricas. lo cual representa una ventaja en los procesos tanto de diseño como de enseñanza-aprendizaje en el
campo de la fotónica.
Es evidente que la simplificación del trabajo que se logra empleando el paquete computacional es muy importante.
además que nos permite manipular los valores de los parámetros de las fibras, para así determinar cuales son los óptimos, ante distintas exigencias. Debemos resaltar la importancia de este trabajo dada la potencialidad que tiene cuando
tratamos de encontrar los modos para perfiles de índices de
refracción mucho más complejos.
El desarrollo de la tecnología de fibras. en su geometría y
características físicas, aún está en su etapa intermedia. cada
día se presentan nuevos diseños de fibras que mejoran las características de propagación así C0l110 de aplicación en los sistemas de generación y procesamiento de señales ópticas. Por
esto es importante la instrumentación de métodos teóricos de
estudio empIcando recursos actuales.
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