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Ejercicios de límites - ejercicios y examenes

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Ejercicios de límites - ejercicios y examenes
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LIMITES
1. Halla el límite de las siguientes sucesiones:
1 - 2n
n+ 3
1+ n
n- 2
a) a n =
b) a n =
c) a n =
d) a n =
n
n -1
1 - 2n
n+ 4
3 + 8n
3n + 5
6n - 1
e) a n =
f) a n =
g) a n =
h)
2n + 5
12n + 1
3n + 3
3 - 2n
an =
n- 2
Sol: a) -2; b) 1; c) -1/2; d) 1; e) 4; f) 1/4; g) 2; h) -2
2. Halla los siguientes límites cuando n tiende a infinito:
n
4
a) a n =  
b) a n = 0,5 n
c) a n = 2 n+1
 3 
e) a n = n 2
f) a n =
d) a n = 3 n -1
n
1
g) a n =  
 3 
3
n2
h) a n = n
1
2
1
 1 n
i) a n =  
 3 
Sol: a) 4; b) 0; c) 4; d) 4; e) 0; f) 0; g) 0; h) 1; i) 1
3. Halla los límites siguientes:
lim
lim n2 - 2n + 1
n+ 3 - n - 3
a)
b)
n→∞
2
n→∞
n- 3
lim n - 4
lim 3 n2 + 5
d)
e)
n → ∞ n +2
n → ∞ 6 n2 - 2
Sol: a) 0; b) 4; c) 0; d) 1; e) 1/2; f) 1
4. Halla los límites siguientes:
lim (n + 1) (n - 2)
lim (n + 1 )2
a)
b)
- (n - 3)
n→∞
(n - 1 )2
n→∞
n
d)
lim
n→∞
n2 +1 -
n2
e)
lim
n→∞
3
n -
n +1
lim 3n + 2
n → ∞ n2 - 1
lim (n - 2 )2
f)
n → ∞ n2 + 1
c)
c)
f)
lim n - 2 n
n→∞
n
lim
n→∞
1/n
4n + 5
2n - 3
- n 2+3
lim  3 n 2 + 1 
lim n -2  2n - 5 n
2n 
g)


h)

n → ∞  n + 1 
n→∞
 2n + 1 
Sol: a) 1; b) 5; c) 1; d) 0; e) -4; f) 4; g) 0; h) e-6
5. Calcula los siguientes límites:
2
n -1
lim  n + 1  n+1
a)


n → ∞  n+ 3 
lim  3n + 4 4n+7
b)


n → ∞  3n - 2 
lim  n - 2 2n+1
c)


n → ∞  n +3 
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lim
d)
n→∞
 n2 + 2
 2
 n -1
lim
g)
n→∞







2
n +1
2
n -2
n+ 2
3
2
n +n
lim
lim  2n + 2  n -2
e)
f)


n→∞
n → ∞  2n - 1 
n




lim
h)
n→∞
n
lim
i)
n→∞
4n + 1
4n
n+1
n
 n2 + 2n - 1

2
 n - 20n
2n
 n -1


3 n2 - 2n + 1
3 n2 - 1
2
n +5
n +2
lim n -21 4 n 2 + 1
lim 
lim  3n + 1  n
3n + 4 
n
j)
k)
l)
 1+ 2



n→∞
n (4n + 3)
n→∞ 
n → ∞  3n - 4 
n -1 
Sol: a) e-2; b) e8; c) e-10; d) 1; e) e3/2; f) 1; g) 1; h) 1; i) 1; j) e-3/4; k) e5/3; l) e3
6. Calcula los siguientes límites:
lim 2 x2 - 3x + 1
lim x 2 - 2x
lim
a)
b)
c)
2
x→2
2x + 5
x → 3 3- x
x →1
2
lim 2x - 3
lim x - x + 1
lim
d)
- 4x
e)
f)
x → 3 3x
x → 1 3x + 1
x →0
2
2
lim
x + 1 h) lim 3 x - 2x + 1
g)
x2 - 3x + 2 - 2
x→3
x → -1 x2 - 3x - 1
x -1
Sol: a) 1/3; b) -1/2; c) -2; d) -35/3; e) 1/4; f) 1; g) 3/4; h) 2
7. Calcula los siguientes límites:
x
lim  x2 - 1 
lim
a)
 2

b)
x → ∞  x +2 
x→∞
lim
d)
x→∞
 3 x 2 - 2x

2
 3 x +1
 x +1


x -1

Sol: a) 1; b) 1/e; c)
lim
g)
n→∞
15x



lim
e)
x→∞
x -2

lim

h)

n→∞

e-3; d) e-10; e) 1; f)
8. Calcula los límites:
lim
lim
a)
x 2 + 2 - x 2 - 3x b)
x→∞
x→∞
Sol: a) 3/2; b) 0; c) 0
 x2 - x
 2
 x -2
 x2 + 2
 2
 x - 3x



2x - 4 x 2
3x - 2
x3 - 2x + 1
3x + 1
x+1
c)
lim  x - 2  x+1


x → ∞  x +1 
1
x


lim
f)
n→∞




2
x +1
2
x -x
x




3
2x  x2

 1- 2


x -1 
e ; g) e; h) 1
x+2 -
x -1
c)
lim
1
1
x → ∞ x +1 x - 2
9. Calcula el valor de los límites cuando n tiende a infinito de las siguientes
expresiones:
2
1 2
-n

a) n3-n2+2n-1
b) n 2  n - 4 + - 2 
c) n-2n2
d) n
n-2
n n 

2
2
3 +n
+2
3 2+ 2
e) n2-2n+1
f) n2
g) n 2
h) n3
3 n - 3n
n -1
n -1
Sol: a) 4; b) 4, c) -4; d) 4; e) 4; f) 3; g) 1/3; h)0
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10. Calcula el valor de los límites cuando n tiende a infinito de las siguientes
expresiones:
4
-n
a) n4
b) n - n + 1
c) 3 n2 - n2 d) n 2 + 1 - n2 + 2
2 n +3 n2
3n
n - n -1
e) 3
f) n - n2 + 1
g) 2n - n + 1
h)
n- n-2
n +2
n- n
n - n2 + n
i)
j)
n+1 - n
n - n2 +1
Sol: a) 1/2; b) 0; c) 4; d) 0; e) 0; f) 0; g) 4; h) 1; i) -1; j) 4
11. Calcula el valor de los límites de las siguientes funciones si n tiende a infinito:
4 n2 + 1 - 2n
2
n +1
a) n 2 + 1 - n
b)
c)
d)
2
2
4
n - n2 +1
n +2 -n
n - n -n
2
n -1
f) 
 n +1
n +n - n
Sol: a) 0; b) 1/4; c) -4; d) 4; e)
e)
n
4
2
2
 n +2 

g) 



 n 
4; f) e-2; g) e2; h) e2
n+ 2
n
n +1
2
 2n + 3 
h) 

 2n - 1 
n
n- 1
12. Calcula el valor de los límites de las siguientes funciones si n tiende a infinito:
n 2 +1
 n 
a) 

 n +3 
n +1
n +5 
b) 

 n-3 
2
c) 

n
2n + 3 

2n 

+4
d)  n 2
 n -n
2
2
n
2 n2 +n
n
3
 2n + 1 
 3n 
e) 
f) 
g) n 2 + 2 - n


 2n 
 3n + 2 
i) n - n2 + 3
j) n 2 + 1 - n2 - 3
8
3/2
Sol: a) 0; b) e ; c) e ; d) e; e) 1; f) 0; g) 0; h) e6/5; i) 0; j) 0



n2
n+1
2n
 n +1  5
h) 

 n-2 
13. Calcula los siguientes límites teniendo en cuenta a que tiende la incógnita:
lim
lim
lim x 2 - 1
x2 + 1
2
+
2x
a)
b)
c)
x
x →1
x → ∞ x2 + 3x
x → 1 x- 1
lim
x +1
d)
x→0
x
e)
lim
x→2
x- 2
x-2
f)
lim
x
x → 0 2x + 1
Sol: a) 3; b) 1; c) 2; d) 4; e)
g)
lim
x
x → 0 2x
h)
lim
x→2
x2 - 4
x- 2
2 /4; f) 0; g) 4; h) 2
14. Calcula los siguientes límites teniendo en cuenta a que tiende la incógnita:
x
2
lim
 x + 2 3
a)
(x + 1 ) x

 b)
x → ∞  x -1 
x→0
lim
c)
x
lim
(2 + x ) x+1
x → -1
d)
x -1
lim
x x 2- 1
x →1
ejerciciosyexamenes.com
3
lim
lim
x-2
 x - 1  x -3
e)
f)
(1+ x )1/x
g)


x→3  2 
x →0
x → 2 2- x
2x-6
lim
lim
x- 1
h)
(2x - 5 ) x 2- 9 i)
x→3
x → 1 x +2
2
Sol: a) e; b) e ; c) 1/e; d) 1; e) e3/2; f) e; g) -4; h) 1; i) 0
lim
15. Calcula los siguientes límites teniendo en cuenta el valor a que tiende la
incógnita:
2
x +2x
lim
a)
(2 + x ) x2 -2
x → -1
lim
c)
n→∞
2
lim
b)
(x + 1 ) x
x→0
3
lim
lim
 n2 - 1
n + n - 2n
n+ 2 
d)
e)
 2+ 2
n → ∞ n - n3 - n2
n→∞
n

Sol: a) 1; b) e2; c) 0; d) -1; e) 1; f) -2/3
n2



f)
 n +1

2
 3n
2



n2
n +1
lim
1
n → ∞ n - n 2 + 3n
16. Calcula los siguientes límites teniendo en cuenta el valor a que tiende la
incógnita:
x+1
lim
x -1
 x + 1  x2 - 2x+1
a)
b)


x→∞  2 
x → 1 x2 - 1
lim
lim x - x 3
x -3
d)
e)
x → 3 x2 - 9
x → 0 x2 + x
Sol: a) 1; b) 1/4; c) 0; d) 4; e) 1; f) 2
lim
lim
x2 - 1 - x + 2
x → ∞ x2 + 1 x + 3
lim (n + 1) . n2 + n + n2
f)
n→∞
n2 + 1
c)
17. Resuelve los siguientes límites cuando n tiende a infinito:
a)
n3 - n 2 + 8
3 n3 + 2 n2 + 2n
b)
3 n 2 - 4n - 1
- n 3 + 3 n 2 + n +7
c)
2 n2 - 2
n2 + 3
2n + n3 - 1
n
n +1
f)
g) 2
3n + 3
n
n +4
Sol: a) 1/3; b) 0; c) 2; d) 4; e) 4; f) 0; g) 0; h) 4
%
18. Resuelve los siguientes límites cuando n tiende a infinito:
2n
1000
2 n2 - 3n + 4
- 2n
a) 2
b)
c)
n+ 2
n + 1000 + n
n -1 + n
e)
2
d) n
- 3n + 5 n2 - 5
n+ 5
n+ 3
2 n2 + n
n + 1 n2 + 2n
e) n f)
g) n 2 + 5 - n
n+ 4
2
n -1
2
2
2
i) n + 1 - n - 1
j) n + 3n - n
Sol: a) 1; b) 0; c) -7; d) -5; e) -4; f) -4; g) 0; h) 0; i) 0; j) 3/2
19. Resuelve los siguientes límites cuando n tiende a infinito:
3
+n
d) n2
n +n
h)
n n
3n + 4
h) n + 4 -
n
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a)
1
- n
n+1
b)
1
n - 1 - n+1
c)
1
d) 2 n - 3n
2
n +n - n
n
3 
h) 
 - n3
2


n
n +1
n
+3
+1
e) n +1
f) 2 n
g) 2n
3.2 - 4
2 -n
3 +8
Sol: a) -4; b) -4; c) 2; d) -4; e) 1/2; f) 2/3; g) 0; h) 4
2
20. Resuelve los siguientes límites cuando n tiende a infinito:
 n +4 
b) 

 n 
3n
1 
a)  1 +

3n 

n +1 
e) 

 n 
n -3
3n+2
5
3n
1 
f)  1 +

n 

4 n2 -1
2n
2n+1
1 

d)  1 +

n 

n- 3
1 
h)  1 +

n 

1 
c)  1 +

n 

 2 -1
g)  n2
 n +n



2
n
2
2
n - 2n
3n
3+5n
1
1 
1 n
 2n + 1 
 n-3 

i) 
j) 
k)  1 +
l)  1 + 2 



n 
 2 + 2n 
 n 


n 
12/5
2
1/3
3
5
Sol: a) e; b) e ; c) e ; d) e ; e) e; f) e ; g) 1/e; h) e ; i) 1/e; j) 0; k) e; l) 1
n- 4
21. Resuelve los siguientes límites cuando n tiende a infinito:
2
n
5n
1 
 2n + 3 
a)  2  b) 

n 

 4 + 2n 
1 

e)  1 +

n 

3n+2
5
 2 -1
f)  n2
 n +1
2
n +3
3n
2 
c)  2 +

n 

n -1



n 3-1
n
2n - 3 

d)  1 +

5+ n 

n
1
g)  1 + + 2n 
n


n 2 +1
n
n
1+ n
 2 + 3n
h)  n 2
 n −3
10 n




-1 

+3 
n+1 - n - 1
 2n - 3 
i) 
j)  n3

k)  n 2 
l)

2n
 2n + 3 
 n +1 
 n

-5/2
3/5
30
-2
Sol: a) 4; b) e ; c) 4; d) 4; e) e ; f) 1; g) 4; h) e ; i) 1/e; j) e ; k) 1; l) 0
3
2
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