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Probabilidad. - IES "Ramón Olleros Gregorio"

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Probabilidad. - IES "Ramón Olleros Gregorio"
PROBABILIDAD
1. En cierta región se ha hecho un estudio sobre el carácter daltónico de las personas y se ha
encontrado que 8 de cada 1000 hombres y una de cada 500 mujeres padece daltonismo. Se elige una
persona al azar y se sabe que presenta daltonismo. ¿Qué probabilidad hay de que se trate de una
mujer? ¿Y de que se trate de un hombre?
Solución: P ( M / D) =
P( D / M ) ⋅ P( M )
= 20 % ; P ( H / D) = 80 %
P( D / M ) ⋅ P( M ) + P( D / H ) ⋅ P( H )
2. Dos laboratorios A y B, que trabajan para una misma firma comercial, fabrican medicamentos
que presentan algún defecto con probabilidades del 1 por mil y del 3 por mil respectivamente. Un
hospital se abastece de medicamentos que provienen el 70 % del laboratorio A y el 30 % del
laboratorio B. En una investigación realizada en el hospital se observa un medicamento y resultó ser
defectuoso. ¿Qué probabilidad hay de que provenga del laboratorio A.?
Solución: P (A / D) = 43,75 %
3. Por los síntomas observados a un enfermo se deduce que puede tener la enfermedad A con un
25 % de probabilidad, la B con un 50 %, la C con un 20 % y la D con un 5 %. Para precisar el
diagnóstico se le somete a una prueba que da positiva en el 5 % de los enfermos A, en el 10 % de
los enfermos de B, en el 15 % de los enfermos de C y en el 99 % de los enfermos de D. Si el
resultado de la prueba fue positivo, ¿qué probabilidades tienen cada una de las enfermedades?
¿Cuál diagnosticaría?
Solución: P (A / +) = 8,8 % ; P (B / +) = 53, 21 % ; P (C / +) = 21,13 % ; P (D / +) = 34,86 % ⇒ Lo más
probable es que tenga la enfermedad B y luego la D.
4. Un autobús recorre diariamente el trayecto de ida y vuelta entre dos ciudades. La probabilidad
de que ocurra un accidente en un día con lluvia es de 0,002 y la probabilidad de accidente en un día
sin lluvia es de 0,0003. Un mes de septiembre tuvo 20 días con lluvia y 10 días sin lluvia.
a) Si se sabe que en ese mes ocurrió un accidente, ¿cuál es la probabilidad de que se tratara de
un día con lluvia?
b) Si se sabe que el 10 de septiembre el autobús no tuvo ningún accidente, ¿cuál es la
probabilidad de que ese día haya llovido?
Solución: a) P (LL / A) = 92,6 % ; b) P (LL / A ) = 66,63 %
5. Un laboratorio lanza al mercado una vacuna para combatir una determinada enfermedad. Se
sabe que el 85 % de la población infantil se ha vacunado contra ella. Aparece una epidemia que
afecta al 10 % de la población infantil y se comprueba que el 90 % de los niños que padecen la
enfermedad no fueron vacunados. ¿Cuál es la probabilidad de padecer la enfermedad habiendo sido
vacunado?
Solución: P (Enf / V) = 1,18 %
6. Se tiran dos dados cúbicos. Sea A el suceso de que la suma de los puntos obtenidos sea impar.
Sea B el suceso de que por lo menos uno de los dos muestre un 1. Calcular P (A ∩ B) y P (A ∪ B).
Solución: P (A ∩ B) = 1/6 ; P (A ∪ B) = 23/36
7. Sean A y B dos sucesos tales que las probabilidades P (A) = a ; P (B) = b ; P (A ∩ B) = c son
conocidas. Obtener en función de a, b y c los valores de:
a) P ( A ∪ B )
b) P ( A ∩ B )
c) P ( A ∪ B)
Solución: a) 1 – c ; b) 1 + c – a – b ; c) 1 – a + c
8. ¿Cuál es la probabilidad de la diferencia entre dos sucesos, de los cuales uno está contenido en
otro?
Solución: Si B ⊂ A ⇒ P (A – B) = P (A) – P (B)
Dpto. Matemáticas
IES “Ramón Olleros”
9. Se han lanzado dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos treses si se sabe que la
suma de los puntos obtenidos se divide por tres?
Solución: 1/12
10. Demostrar que los sucesos A y B son independientes si son independientes los sucesos A y B.
(Indicación: A = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ B))
11. Un sistema simplificado para controlar los artículos consiste en dos comprobaciones
independientes. Como resultado de la k-ésima comprobación (k = 1, 2) un artículo que satisface la
norma se desecha con la probabilidad βk y un artículo defectuoso se recibe con la probabilidad αk.
Un artículo se recibe si pasa ambas comprobaciones. Hallar la probabilidad de los sucesos:
a) Un artículo defectuoso quedará recibido.
b) Un artículo que satisface la norma quedará desechado.
Solución: a) α1α2 ; b) β1 + β2 – (β1 β2)
12. Una urna contiene 2 bolas blancas y 4 negras. Otra contiene 3 bolas blancas y 1 negra. Dos
bolas pasan de la primera urna a la segunda. Hallar la probabilidad de que la bola extraída de la
segunda urna, después de pasar a ella dos bolas de la primera, sea blanca.
Solución: 11/18
13. Supongamos que el 5 % de todos los hombres y el 0,25 % de todas las mujeres son daltónicos.
Una persona escogida al azar resulta ser daltónica. ¿Cuál es la probabilidad de que esta persona sea
un hombre? (Se considera que la cantidad de hombres y mujeres es igual)
Solución: 20/21
14. Por un canal de comunicación puede ser transmitida una de las tres sucesiones de letras: AAAA,
BBBB, CCCC; es sabido que las probabilidades de cada una de las sucesiones son iguales a 0,3;
0,4; 0,3, respectivamente. Debido a los ruidos una letra se recibe correctamente con probabilidad
0,6. Las probabilidades de que una letra transmitida se tome por dos otras son iguales a 0,2 y 0,2. Se
supone que las letras se distorsionan independientemente una de la otra. Hallar la probabilidad de
que se haya transmitido la sucesión AAAA si el dispositivo de recepción se recibe ABCA.
Solución: 9/16
15. Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad de probabilidades respectivas P (A) y
P (B). Calcular la probabilidad de P [(A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B)] en función de P (A), P (B) y P (A ∩ B).
Solución: P [(A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B)] = P (A – B) + P (B – A) = P [A – (A ∩ B)] + P [B – (A ∩ B)] =
= P (A) + P (B) – 2 P (A ∩ B)
16. Una persona tiene tiempo para jugar a la ruleta 5 veces a lo sumo. Cada apuesta es de 6 €.
Empieza a jugar con 6 € y dejará de jugar cuando pierda los 6 € o tenga 18 €. Halla el espacio
muestral de los resultados posibles y calcula la probabilidad de cada uno de ellos.
Solución: Puesto que no se dice lo contrario, se supone que la probabilidad de ganar y perder es la misma, por tanto:
P (GG) = 1/4 ; P (GPGG) = 1/16 ; P (GPGPG) = 1 /32 ; P (GPGPP) = 1/32 ; P (GPP) = 1/8 ; P (P) = 1/2
Dpto. Matemáticas
IES “Ramón Olleros”
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