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Teorema 3. Probabilidad que ocurra al menos uno de los

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Teorema 3. Probabilidad que ocurra al menos uno de los
38
Teorema 3.
Probabilidad que ocurra al menos
T ÐE  FÑ œ T ÐEÑ  T ÐFÑ  T ÐE  FÑ.
uno
de
los
sucesos
E
o
FÀ
Demostración.
E  F œ E  ÐF  Ew Ñ y F œ ÐE  FÑ  ÐF  Ew Ñ , luego T ÐE  FÑ œ T ÐEÑ  T ÐF  Ew Ñ por
ser E y (F  Ew) sucesos mutuamente excluyentes. T ÐFÑ œ T ÐE  FÑ  T ÐF  Ew Ñ, pues
ÐE  FÑ y ÐF  Ew Ñ son mutuamente excluyentes. Despejando P(F  Ew Ñ de la última igualdad y
sustituyéndola en la anterior se obtiene T (E  FÑ œ T ÐEÑ  ÐT ÐFÑ  T ÐE  FÑÑ que
corresponde a la propiedad enunciada.
Teorema 4.
Probabilidad que ocurra al menos uno de los sucesos E ß F
o G:
T ÐE  F  G Ñ œ T ÐEÑ  T ÐFÑ  T ÐG Ñ  T ÐE  FÑ  T ÐE  G Ñ  T ÐF  G Ñ  T ÐE  F  G Ñ
Demostración.
La demostración se consigue aplicando recurrentemente el teorema 3.
Teorema 5.
Probabilidad que entre dos sucesos E y F ocurra sólo E À T ÐE  F w Ñ œ T ÐEÑT ÐE  FÑ
Demostración.
E œ E  W œ E  ÐF  F w Ñ œ ÐE  FÑ  ÐE  F w Ñ , usando propiedades de conjuntos.
Además
como
ÐE  FÑ
y
ÐE  F w Ñ
son
sucesos
mutuamente
excluyentes
w
T ÐEÑ œ T ÐÐE  FÑ  ÐE  F ÑÑ œ T ÐE  FÑ  T ÐE  F w Ñ. Despejando T (E  F w Ñ de la igualdad
se obtiene la propiedad buscada.
Teorema 6.
Probabilidad que no ocurra el suceso E ni ocurra el suceso F : T ÐEw  F w Ñ œ "  T ÐE  FÑ.
Demostración.
Una propiedad en teoría de conjunto establece que ÐE  FÑw œ ÐEw  F w Ñ, luego
T ÐEw  F w Ñ œ T ÐE  FÑw œ "  T ÐE  FÑ , aplicando el teorema 1.
Consecuencia.
Una propiedad muy útil en probabilidad dice que "la probabilidad que ocurra al menos uno
de entre varios sucesos es igual a 1 menos la probabilidad que no ocurra ninguno de los
sucesos". Esta propiedad se deduce del teorema 6, que en el caso de dos sucesos se expresa
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