...

04.05.2012 İstatistiksel Tahminleme

by user

on
Category: Documents
2

views

Report

Comments

Transcript

04.05.2012 İstatistiksel Tahminleme
04.05.2012
İstatistiksel Tahminleme
Nokta Tahmini
İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE
YORUMLAMA SÜRECİ
Aralık Tahmini
Populasyon parametresinin
tek bir tahmin değerini verir
Populasyon parametresinin
tahmin aralığını verir. Nokta
tahmini kullanılarak
hesaplanır.
GÜVEN ARALIĞI
X  μ̂
s  σ̂
20  μ  60
2.5  σ 2  3.4
0.25  P  .035
p  P̂
Dr. Mehmet AKSARAYLI
1
www.mehmetaksarayli.com
www.mehmetaksarayli.com
2
Aralıklar ve güven
seviyesi
Güven Aralığı Tahmini

Bir değer aralığı verir.

Populasyon parametresine yakınlık hakkında bilgi verir. 
Olasılık terimleriyle ifade edilir.
Ortalamanın örnekleme dağılımı
_
/2
Güven Aralığı Tahmininin Elemanları
1 ‐ 
x
/2
X
x = 
Populasyon parametresinin aralık içinde bir yere düşmesinin olasılığı
Örnek istatistiği
Güven aralığı
_
Aralıkların %(1 ‐ )’ı ’yü kapsar. aralık
X  Z 'dan
X
X  Z 'a kadar uzanir
X
 ’sı kapsamaz.
Çok sayıda aralık
Üst güven sınırı
Alt güven sınırı www.mehmetaksarayli.com
3
Güven Seviyesi
www.mehmetaksarayli.com
4
Aralık genişliğini
etkileyen faktörler
Verilerin yayılımı (
Bilinmeyen populasyon parametresinin
aralık içine düşme olasılığıdır.
Örnek hacmi
%(1 -  güven seviyesi
Güven seviyesi (1 - )
Aralık
X  Z 
X
' ya uzanir.
'dan X  Z 
X
X = X / n
Parametrenin aralık içinde olmaması
olasılığıdır.
Tipik değerler %99, %95, %90
© 1984‐1994 T/Maker Co.
www.mehmetaksarayli.com
5
5
www.mehmetaksarayli.com
6
1
04.05.2012
ORTALAMALAR İÇİN GÜVEN ARALIĞI 
 

P  X  z 2 X  X  X  z 2 X   1  
n
n

Örnek: Bir fabrikada üretilen 100 mamulün ortalama ağırlığı 1040 gr standart sapması 25 gr bulunmuştur. Bu imalat prosesinde üretilen mamullerin ortalama ağırlığı %95 güvenle hangi aralıktadır? x_
  2.58
X
 1.645
 1.96
X
X
  1.645
X
 1.96
Örneklerin 90%
%95 için z değeri ± 1.96 0.475
  2.58
X
/2=0.05/2=0.025 X
X
z=‐1.96  = 0 z=1.96
Z
Örneklerin 95%
Örneklerin 99%
www.mehmetaksarayli.com
7
www.mehmetaksarayli.com
8
ORTALAMALAR İÇİN GÜVEN ARALIĞI Alıştırma

 

P  X  z 2 X  X  X  z 2 X   1  
n
n

• Türk telekomda çalışan
bir operatörsünüz. Uzun
mesafeli telefon
görüşmeleri  = 8 dk. &
 = 2 dk. İle normal
dağılmakta. Eğer 25
aramalık örnekler
seçerseniz örnek
ortalamalarının % kaçı
7.8 & 8.2 dk. arasında
olacaktır?
25
25 

  X  1040  1.96
P 1040  1.96
  0.95
100
100 

P 1035.1   X  1044.9   0.95
© 1984‐1994 T/Maker Co.
10
www.mehmetaksarayli.com
9
Bilinen Olasılıklar İçin Z Değerlerinin Bulunması
Çözüm
Z1 
X   7.8  8

 0.50

2
25
n
Z2 
X   8.2  8

 0.50

2
25
n
P(Z) = 0.1217 ise Z nedir?
Standart normal dağılım
X = 0.4
.1217
Z = 1
.00
.01
0.2
0.1 .0398 .0438 .0478
Z = 0 0.31
0.1915 0.1915
www.mehmetaksarayli.com
Z
0.0 .0000 .0040 .0080
Z = 1
0.3830
7.8 8 8.2 X
Standart Normal olasılık Tablosu (Kısmen)
Z
0.2 .0793 .0832 .0871
0.3
‐0.50 0 0.50 Z
.1179 .1217 .1255
12
11
2
04.05.2012
Güven Aralığı
Tahminleri
Örnek
n = 25 hacimli bir şans örneğinin
ortalamasıX = 50 dir. Populasyonun
standart sapmasının X = 10 olduğu
bilindiğine göre X için 95% ‘lik güven
aralığını oluşturunuz.
Güven Aralıkları
Ortalama
 biliniyor
Oran
Varyans
P(X  Zα/2 
 bilinmiyor
n30
n<30
Z dağılımı
x
n
 μ  X  Zα/2 
x
n
)  1 α
P( 50 1.96 10    50 1.96 10 )=0.95
25
t dağılımı
25
P( 46.08    53 .92 )=0.95
www.mehmetaksarayli.com
13
Populasyonun St.Sapması
X Bilinmediğinde ve n 30
Olduğunda Ortalama İçin
Güven Aralığı
 1. Varsayımlar:
 POPULASYONUN standart sapması bilinmiyor
 Populasyon Normal dağılımlıdır.
Bir ampul şirketi yeni bir ampul geliştirerek piyasaya sürüyor.
Üretim bandından 100 tanesi rassal olarak seçiliyor ve bunların
standart sapması 140 saat, kulanım süreleri de ortalama olarak
1280 saat bulunuyor. =0.05 için populasyon ortalamasının güven
aralığını bulunuz.
P(X  Z α/2
Örneğin st.sapması
Sx
n
 μ  X  Zα/2 
Sx
n
)  1 α
www.mehmetaksarayli.com
15
www.mehmetaksarayli.com
n
) 1 α
140
140
   1280  1.96 
100
100 )=0.95
P(1252.56    1307.44)  0.95
www.mehmetaksarayli.com
P(p̂  Zα/2 .Sp̂  P  p̂  Zα/2 .Sp̂ )  1  α
16
p̂ 
P( p̂  Z α/2 .S
S pˆ 
Sx
400 lise öğrencisinden oluşan bir örnekte 32 öğrenci
üniversite sınavını kazanmıştır. Üniversite öğrencilerinin
sınavı kazanma oranı için %95’lik güven aralığını
bulunuz.
Güven aralığı tahmini:
Özellikli
birim sayısı
Örnek
hacmi
 μ  X  Z α/2
ÖRNEK:
 1. Varsayımları
 İki kategorik çıktı vardır.
 Populasyon Binom dağılımı gösterir.
x
pˆ 
n
n
Yorum: Şirketin ürettiği ampullerin ortalama ömrü, 0.95 olasılıkla 1252.56 ile 1307.44 saat arasındadır.
Bir Oranın Güven
Aralığı
 2.
Sx
1280  1.96 
P(
P(X  Zα/2 
14
Populasyon st.sapması
bilinmediğinde ve n30
olduğunda ortalama için
güven aralığı örneği
 2. Merkezi limit teoremi kullanılarak Z Dağılımı
kullanılır.
 3. Güven aralığı tahmini:
www.mehmetaksarayli.com
pˆ .qˆ
n
p̂
32
 0.08
400
 P  p̂  Z α/2 .S p̂ )  1  α

0.08 1  0.08 
0.08 1  0.08  
  0.95
P  0.08  1.96
 P  0.08  1.96


400
400


P  0.053  P  0.107   0.95
17
www.mehmetaksarayli.com
18
3
04.05.2012
Populasyon st.sapması
bilinmediğinde ve n>30 olduğunda
iki ortalama farkı için güven aralığı
örneği
İki Ortalamanın Farkı İçin
Güven Aralığı
Populasyon Varyansları Biliniyorsa: 
2 2
2 2 
P X1  X2   Z / 2  1  2  1  2  X1  X2   Z / 2  1  2   1  

n1 n 2
n1 n 2 


Populasyon Varyansları Bilinmiyor fakat n > 30 olduğunda:

S2 S2 
S2 S2
P X1  X2   Zα/2,  1  2  μ1  μ 2  X1  X2   Zα/2,  1  2   1  α

n1 n 2
n1 n 2 


www.mehmetaksarayli.com
Bir yabancı dil kursunun A sınıfında bilgisayar destekli ve B sınıfında
klasik yöntemlerle eğitim verilmektedir. Kursun başlangıcından 6 hafta
sonra her iki sınıfa da aynı test uygulanarak sonuçlar karşılaştırılmıştır. A
sınıfından rassal olarak seçilen 40 öğrencinin test sonucunda elde ettiği
ortalama başarı notu 86 ve standart sapması 12, B sınıfından rassal
olarak seçilen 35 öğrencinin ortalama başarı notu 72 ve standart
sapması 14’tür. Her iki sınıftaki öğrencilerin ortalama başarı notları
arasındaki farkın güven aralığını %99 olasılıkla belirleyiniz.
X1  86
S1  12
n1  40
X 2  72
S2  14
n 2  35
www.mehmetaksarayli.com
19
Populasyon st.sapması bilinmediğinde ve n>30 olduğunda iki ortalama farkı için güven aralığı örneği
X1  86
S1  12
n1  40
X 2  72
S2  14
n 2  35
İki Oran Farkının Güven
Aralığı
1. Varsayımları

S2 S2
S2 S2 
P X1  X2   Zα/2,  1  2  μ1  μ 2  X1  X2   Zα/2,  1  2   1  α

n1 n 2
n1 n 2 



122 142
122 142 
P 86  72  2.58
 0.99

 μ1  μ 2  86  72  2.58


40 35
40 35 


P6.18  μ1  μ 2  21.82  0.99
www.mehmetaksarayli.com
 İki kategorik çıktı vardır.
 Populasyonlar Binom dağılımı gösterir.
2. Güven aralığı tahmini:

p̂1.q̂1 p̂ 2 .q̂ 2
0.825.(1  0.825) 0.760.(1  0.760)



n1
n2
1000
1000

Pr p̂1  p̂ 2   Zα/2  Sp̂1  p̂ 2  P1  P2  p̂1  p̂ 2   Zα/2  Sp̂1  p̂ 2  1  
S pˆ1  pˆ 2 
pˆ 1.qˆ1 pˆ 2 .qˆ 2

n1
n2
İki oran farkının
standart sapması
www.mehmetaksarayli.com
21
İki farklı ilacın bir hastalığı tedavi etme oranlarının farklı olup
olmadığı kontrol edilmek istenmektedir. Bu amaçla 1000’er adet
hasta üzerinde A ve B ilaçları denensin. Tedavi sonunda A ve B
ilaçlarının uygulandığı hastaların sırasıyla 825 ve 760’ının iyileştiği
gözlendiğine göre ilaçların hastalığı tedavi etme oranlarının
farkının %95’lik güven aralığını bulunuz.
825
760
pˆ 1 
 0,825 pˆ 2 
 0,760
n1 = 1000, n2 = 1000
1000
1000
Sp̂1  p̂ 2 
20

22

Pr p̂1  p̂ 2   Zα/2  Sp̂1  p̂ 2  P1  P2  p̂1  p̂ 2   Z α/2  Sp̂1  p̂ 2  1  
Pr 0.82  0.760  1.96  0.018  P1  P2  0.82  0.760   1.96  0.018  0.95
Pr 0.029  P1  P2  0.10   0.95
 0.018
www.mehmetaksarayli.com
23
www.mehmetaksarayli.com
24
4
04.05.2012
STANDART SAPMA
İÇİN GÜVEN ARALIĞI
Standart Sapmalar için Güven
Aralığına Örnek
Örnek standart sapması s,anakütle standart sapması
Bir makinada , bir hafta içersinde yapılan 200 bilyeli yatağın çapları
ölçülmüş ve ortalama 2.09 cm , standart sapma ise 0.11 cm
bulunmuştur. Bütün bilyeli yatakların çaplarına ait standart
sapmanın güven sınırlarını bulunuz.

’nın
nokta tahminidir. Nokta tahmininden hareketle anakütle
standart sapmasının güven aralığı,
s  Z 2
 /2
www.mehmetaksarayli.com
s
2n
Z 2
s  Z 2
s
2n
X  2.09
0.11  2.58
 /2
1 ‐ 
 Z 2
s  Z 2
n=200
s
s
   s  Z 2
2n
2n
s  0.11   0.01
0.11
0.11
   0.11  2.58
2.(200)
2.( 200
0.0958    0.1242
s
25
www.mehmetaksarayli.com
26
5
Fly UP