...

88. Rango de una matriz

by user

on
Category: Documents
1

views

Report

Comments

Transcript

88. Rango de una matriz
Rango de una matriz
Matriz traspuesta
Si A es una matriz real de m filas y n columnas, cada fila de A está compuesta por n números
reales y por tanto se puede identificar con un vector de Rn . Si cada fila de A se escribe como
una columna entonces obtenemos una nueva matriz que tiene m columnas y n filas. Esta nueva
matriz se llama la matriz traspuesta de A y se denota AT .
matriz
traspuesta
Espacio fila
Se llama espacio fila de una matriz A, y se denota Fil A, al espacio columna de su matriz traspuesta. Esto es, el espacio fila de una matriz de m filas y n columnas es el subespacio de Rn
generado por las m filas de la matriz: Fil A = Col AT .
espacio fila
La diferencia fundamental entre el espacio fila y el espacio columna de una matriz consiste en
que, aunque la operaciones elementales de filas cambian el espacio columna de una matriz, éstas
no cambian el espacio fila. Esto es evidente para las operaciones de intercambio y de reescalado,
pero también para las operaciones de reemplazo porque para cualesquiera vectores u, v, el espacio generado por ellos es el mismo que el generado por u y v + λu: Gen{u, v} = Gen{u, v + λu}.
En consecuencia tenemos:
Dos matrices obtenidas una de otra mediante operaciones elemntales de filas tienen el mismo espacio
fila. Si una de ellas tiene forma escalonada, sus filas no nulas forman una base del espacio fila de ambas.
Para justificar que las filas no nulas son independientes basta observar que ninguna de ellas
es combinación lineal de las siguientes.
Ejemplo: Hallar una base del espacio nulo, una base del espacio columna y una base del espacio
fila de la matriz


−2 −5
8
0 −17
 1
3 −5
1
5

A=
 3 11 −19
7
1
1
7 −13
5 −3
F1 ↔F2
F2 +2F1
1
0
A −−−−−−→ 
3
1
3
1
11
7
−5
−2
−19
−13
1
2
7
5
5
F3 −3F1
−7 F4 −F1
−
−−−−−
→
1
−3
1
0
0
0
3
1
2
4
−5
−2
−4
−8
1
2
4
4
5
F3 −2F2
−7 F4 −4F2
−
−−−−−
→
−14
−8
1
0
0
0
3
1
0
0
−5
−2
0
0
1
2
0
−4
5
−7
0
20
= B.
Aunque aún no hemos llegado a una forma escalonada, ya podemos dar una base de Col A y una
base de Fil A:
Base de Col A: columnas 1, 2 y 4 de A.
1
Versión de 5 de noviembre de 2014, 14:06 h.
Solución: Para hallar una base del espacio nulo necesitamos poner A en forma escalonada reducida. En el camino para conseguirlo pasaremos por una forma escalonada de A de la que
sacaremos la información necesaria para obtener una base del espacio columna y una base del
espacio fila. Comenzamos, pues hallando una forma escalonada de A.






Base de Fil A: las filas no nulas de B (o las columnas no nulas de B T ).
Realizamos ahora operaciones elementales de filas para obtener la forma escalonada reducida
de A:






F3 ↔F4
− 1 F3
1
0
B −−−4−−→ 0
0
−5
−2
0
0
3
1
0
0
1
2
1
0
5
F2 −2F3
−7 F1 −F3
−
−−−−−
→
−5
0
1
−5
−2
0
0
3
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
10
3 F1 −3F2
−
−−−−−
→
−5
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
−2
0
0
0
0
1
0
1
3
.
−5
0
De aquí podemos leer la base del espacio nulo de A:
x1 = −x3 − x5

 



−1
−1
x1
−3
 2
x2 
 
 
 
x3  = x3  1 + x5  0 ,
 5
 0
x4 
1
0
x5
x2 = 2x3 − 3x5
x3 = x3
x4 = 5x5
x5 = x5
   
−1 


 −1


 2 −3
   
Base de Nul A =  1 ,  0 .
 0  5






1
0
Método alternativo: Al igual que la base del espacio columna de A está formada por columnas
de la propia A, es posible dar una base del espacio fila de A formada por filas de la propia matriz
A. Para ello basta escribir la traspuesta de A y obtener una forma escalonada de AT para determinar cuáles son sus columnas pivote. La base de Fil A está formada por las columnas pivote de
AT . En el ejemplo anterior podríamos hacer lo siguiente: Para empezar, y con vistas a simplificar
los cálculos, intercambiamos las dos primeras filas de A, lo cual no afecta al espacio fila. A partir
de ahí, escribimos la traspuesta y hallamos una forma escalonada:

1
 3

−5
 1
5
−2
−5
8
0
−17
3
11
−19
7
1
2 −3F1
1 F
F3 +5F1
7 F4 −F1
 F5 −5F1
−13 −−
−−−→
5
−3


1
0

0
0
0
−2
1
−2
2
−7
3
2
−4
4
−14

1 F3 +2F2
4 F4 −2F2
 F5 +7F2
−8 −−
−−−→
4
−8

1
0

0
0
0
−2
1
0
0
0
3
2
0
0
0

1
4

0
−4
20
Incluso sin terminar de hacer la forma escalonada, podemos decir que las columnas pivote son
la primera, segunda y cuarta, por lo que una base del espacio fila de A está formada por las filas
1, 2 y 4 de A. Comparando esto con el resultado anterior, se puede comprobar que
     
      


   
0
0 
1
0 
1
0
1
1 
−2















0  1  0
 3  1  0
 −5  3  7
     
     
   


Gen  8 , −5 , −13 = Gen −5 , −2 ,  0 = Gen 1 , −2 ,  0



   0  1
 1  2 −4
 0  1  5













 0




−17
5
−3
−7
5
20
1
3
−5
Dimensiones del espacio columna y del espacio fila de una matriz: Rango de una matriz
La dimensión del espacio columna de una matriz es el número de columnas pivote en una
forma escalonada cualquiera de la matriz. Este número es igual al número de pivotes de una
forma escalonada de la matriz. Por otra parte la dimensión del espacio fila es igual al número
de filas no nulas en una forma escalonada cualquiera de la matriz. Este número también es igual
al número de pivotes de una forma escalonada cualquiera de la matriz, por tanto, llegamos a la
siguente conclusión:
Teorema del Rango: El espacio columna de una matriz tiene la misma dimensión que su espacio fila.
Esta dimensión común del espacio fila y del espacio columna se conoce como el rango de la matriz.
2
rango
Fly UP