...

CHAOS ET MÉTÉOROLOGIE METEOROLOGIE THEORIQUE Jean-François Royer et Catherine Nicolis

by user

on
Category: Documents
2

views

Report

Comments

Transcript

CHAOS ET MÉTÉOROLOGIE METEOROLOGIE THEORIQUE Jean-François Royer et Catherine Nicolis
38
e
La M é t é o r o l o g i e 8 série - n° 5 - mars 1994
METEOROLOGIE THEORIQUE
CHAOS ET MÉTÉOROLOGIE
Jean-François Royer
Météo-France, CNRM
42, avenue G. Coriolis
31057 Toulouse Cedex,
FRANCE
et Catherine Nicolis
Institut royal météorologique de Belgique
Avenue circulaire 3
1180 Bruxelles, BELGIQUE
RÉSUMÉ
ABSTRACT
LA VARIABILITÉ
ATMOSPHÉRIQUE :
COMPLIQUÉE
OU COMPLEXE ?
Les recherches sur le chaos déterministe ont permis d'unifier et de
rénover la compréhension et l'analyse des comportements des systèmes complexes en fournissant de nouveaux concepts et de nouvelles méthodes. Les
sciences de l'atmosphère ont bénéficié de ces nouvelles techniques : des modèles
simplifiés ont aidé à comprendre les mécanismes qui sont à l'origine des
fluctuations apériodiques observées à diverses échelles de temps. L'application
des méthodes non linéaires à l'analyse de séries météorologiques et climatiques
a débouché sur une meilleure description des caractéristiques de l'attracteur
atmosphérique (dimensions, exposants de Lyapounov, croissance de l'erreur).
La théorie du chaos a ainsi contribué à une compréhension plus profonde des
bases dynamiques de la prévisibilité atmosphérique. Le but de cet article est de
faire le point sur l'ensemble de ces développements.
Research on deterministic chaos has allowed to unify and to renovate the
understanding and analysis of the behaviour of complex Systems by providing
new concepts and new methods. Atmospheric sciences hâve benefited from
thèse new techniques : simplified models have helped to understand the
mechanisms which give birth to the aperiodic fluctuations observed at différent
time scales. Applications of non-linear methods to the analysis of meteorological
and climatic séries have led to a better description of the characteristics of the
atmospheric attractor (dimension, Lyapunov exponents, error growth). Chaos
theory has thus contributed to a deeper understanding of the dynamical basis
of atmospheric predictability. The aim of this article is to report on the state of
the art in this interdisciplinary topic.
Pour un observateur pris au milieu d'un o u r a g a n , d'une inondation ou d'une
sécheresse p r o l o n g é e , l'atmosphère apparaît c o m m e un milieu erratique, voire
malveillant. Pourtant les m ê m e s lois p h y s i q u e s impassibles, qui régissent des
e x p é r i e n c e s de laboratoire s i m p l e s , s ' a p p l i q u e n t aussi bien au système Terre a t m o s p h è r e - océan - b i o s p h è r e . U n e question se pose ainsi tout naturellement : dans
quelle m e s u r e le c o m p o r t e m e n t de notre e n v i r o n n e m e n t peut-il être c o m p r i s à partir
de ces lois élémentaires sur un plan tant qualitatif que quantitatif ?
La figure l m o n t r e l'évolution j o u r n a l i è r e de la température de l'air à U c c l e
(Bruxelles) entre 1982 et 1990. On ne peut pas m a n q u e r d ' ê t r e frappe par son
e x t r ê m e irrégularité. A côté d ' u n e régularité à g r a n d e échelle associée au cycle
annuel de l'éclairement solaire ( p h é n o m è n e parfaitement p é r i o d i q u e p r o v e n a n t des
m o u v e m e n t s de la Terre d a n s l ' e s p a c e ) , on remarquera des fluctuations irrégulières
qui ne se reproduisent j a m a i s de façon identique. Cette a b s e n c e de périodicité se
39
e
La M é t é o r o l o g i e 8 série - n° 5 - mars 1994
manifeste de façon évidente d a n s les
analyses spectrales de toutes les séries m é t é o r o l o g i q u e s . Un bon e x e m ple en est fourni par la figure 2. La
présence d ' u n spectre continu à large
b a n d e , qui se différencie très clairement des spectres de raies caractéristiques d e s p h é n o m è n e s p é r i o d i q u e s
ou quasi-périodiques, indique le caractère irrégulier de ces séries et
l'existence de fluctuations à toutes
les échelles de t e m p s .
Figure 1 - Evolution de la température journalière à Uccle (Bruxelles) entrel 982 et 1990
Figure 2 - Spectre de puissance de la série représentée dans la figure 1
U n e c o n s é q u e n c e directe de
l'«apériodicité» des m o u v e m e n t s atm o s p h é r i q u e s est la g r a n d e difficulté
d e la p r é v i s i o n , v é r i f i é e q u o t i d i e n n e m e n t par t o u s les m é t é o rologistes. C o n t r a i r e m e n t aux p h é n o m è n e s périodiques et quasi-périodiques pour lesquels une prévision à
très long terme est possible, ainsi que
l'ont d é m o n t r é depuis l o n g t e m p s les
succès impressionnants de l ' a s t r o n o m i e , la prévision m é t é o r o l o g i q u e
est très limitée dans le t e m p s . Les
progrès r e m a r q u a b l e s enregistrés au
cours d e s dernières d é c e n n i e s , suite
n o t a m m e n t à l'utilisation d ' o r d i n a teurs puissants, ont p e r m i s d'atteindre des prévisions fiables j u s q u ' à
plusieurs jours d ' é c h é a n c e . M a i s toutes les expériences montrent que le
succès décroît a v e c l ' é c h é a n c e des
prévisions, et q u ' a u - d e l à de la dizaine de j o u r s , les prévisions quotidiennes deviennent aléatoires, en raison de la croissance des incertitudes.
Face à ces constatations une
question essentielle se p o s e tout naturellement : est-ce que ce m a n q u e
de fiabilité est le résultat de l ' i m p e r fection de nos m o d è l e s actuels ? Ou
bien y a-t-il une raison plus fondamentale qui limite la possibilité m ê m e
de prévision au-delà d ' u n certain laps
de t e m p s ?
U n e p r e m i è r e réponse qui vient à l'esprit est d'attribuer ces difficultés à
l ' e x t r ê m e complication du milieu a t m o s p h é r i q u e qui englobe des p h é n o m è n e s
d ' é c h e l l e s très diverses, allant de l'échelle de la turbulence, des cellules de convection
t h e r m i q u e , des p h é n o m è n e s de m é s o - é c h e l l e , j u s q u ' à l'échelle de la circulation
planétaire. L'utilisation de calculateurs de plus en plus puissants a p e r m i s de
r é s o u d r e en partie ce p r o b l è m e en incluant explicitement dans les m o d è l e s une
g a m m e de plus en plus large d ' é c h e l l e s de m o u v e m e n t , et des m é t h o d e s de
paramétrisation sont utilisées p o u r représenter l'influence d e s p r o c e s s u s d ' é c h e l l e
inférieure à la maille du m o d è l e . La difficulté de la prévision proviendrait d a n s ce
c a s d e s échelles de m o u v e m e n t les plus petites (telles que la turbulence), i m p o s s i b l e s
à observer et à décrire explicitement, qui se manifesteraient sur les plus g r a n d e s par
des interactions ayant le caractère de perturbations aléatoires. A t e r m e l ' a c c u m u l a tion de ces bruits provenant des petites échelles finirait par modifier de façon
imprévisible l'évolution des g r a n d e s échelles. D a n s cette optique les difficultés liées
à la prévision ne seraient d o n c q u ' u n inconvénient passager, v o u é à disparaître au fur
et à m e s u r e que les p a r a m è t r e s seront accessibles par des techniques perfectionnées
d ' o b s e r v a t i o n , et q u e les o r d i n a t e u r s d o n t n o u s d i s p o s o n s d e v i e n d r o n t p l u s
performants, permettant ainsi une résolution spatiale de plus en plus fine.
40
e
La M é t é o r o l o g i e 8 série - n ° 5 - mars 1994
M a i s il existe une autre possibilité pouvant expliquer le caractère apériodique
et la prévisibilité limitée de l ' a t m o s p h è r e , qui est à rechercher d a n s la « c o m p l e x i t é »
de la d y n a m i q u e non-linéaire sous-jacente. Les sciences p h y s i q u e s et m a t h é m a t i ques suggèrent un prototype capable de d o n n e r naissance à une telle c o m p l e x i t é : le
c h a o s déterministe dont la signature la plus caractéristique est le p h é n o m è n e de
sensibilité aux conditions initiales. En effet, ainsi que T h o m p s o n (1957) l'a remarq u é le premier, dans l ' a t m o s p h è r e une petite imprécision sur les conditions initiales
va s'amplifier au c o u r s de l'évolution du m o d è l e , et cette croissance de l'erreur finira
par limiter d a n s le t e m p s toute possibilité de prévision exacte, m ê m e a v e c un m o d è l e
parfaitement connu et déterministe.
On connaît actuellement de n o m b r e u x e x e m p l e s de s y s t è m e s déterministes,
p o u v a n t être représentés par des équations m a t h é m a t i q u e s a p p a r e m m e n t s i m p l e s ,
qui peuvent avoir un c o m p o r t e m e n t si irrégulier et c o m p l e x e que l'on ne peut prévoir
avec précision leur évolution future à long terme. L ' é t u d e de la d y n a m i q u e
c h a o t i q u e , d o m a i n e initialement limité aux m a t h é m a t i q u e s pures, a littéralement
envahi les sciences p h y s i q u e s au cours des 3 0 dernières a n n é e s . Un météorologiste,
E. L o r e n z , a j o u é d a n s ce d o m a i n e un rôle de pionnier en proposant, en 1963, l'un
des p r e m i e r s e x e m p l e s de ce type de m o d è l e , issu d ' u n p r o b l è m e p h y s i q u e , et
d o n n a n t naissance à d e s c o m p o r t e m e n t s chaotiques. D e s c o m p o r t e m e n t s c h a o t i q u e s
ont pu être o b s e r v é s depuis dans des s y s t è m e s très divers étudiés en astronomie,
c h i m i e , d y n a m i q u e des fluides, biologie, é c o n o m i e , etc. L e d é v e l o p p e m e n t spectaculaire de cette «nouvelle» d y n a m i q u e a d o n n é naissance à des c o n c e p t s et à des
m é t h o d e s permettant de décrire, de classifier et de m o d é l i s e r ces c o m p o r t e m e n t s
d ' u n e façon unifiée. L e but de cet article est d ' e x a m i n e r la relation entre ce que
certains appellent maintenant la «Science du c h a o s » et la science des p h é n o m è n e s
atmosphériques.
DYNAMIQUE
NON LINÉAIRE
ET CHAOS
L'état d ' u n système p h y s i q u e c o m m e l ' a t m o s p h è r e est caractérisé par des
variables telles q u e la température, la vitesse du vent ou l ' h u m i d i t é , en différents
points de l ' e s p a c e . C e s variables évoluent suivant des lois qui se présentent sous
forme d ' é q u a t i o n s différentielles non-linéaires, en ce sens que les variables y
interviennent d ' u n e façon qui s'écarte sensiblement d ' u n e relation de simple
proportionnalité. On sait q u ' e n présence de non-linéarités toute tentative de solution
quantitative c o m p l è t e des équations est v o u é e à l ' é c h e c . Il devient dès lors nécessaire
de mettre en place des m é t h o d e s d ' a n a l y s e qualitatives (Nicolis et Prigogine, 1989).
L ' i d é e de départ de l'analyse qualitative est de visualiser
l'évolution
dans l'espace
des p h a s e s " (espace
m u l l i d i m c n s i o n n c l abstrait sous-tendu par l ' e n s e m b l e des
variables décrivant l'évolution du s y s t è m e ) . D a n s cet espace
un état instantané du système est représenté par un point, et
lorsque le t e m p s s ' é c o u l e , le point en question décrit une
courbe, appelée trajectoire des p h a s e s (fig. 3). En suivant les
trajectoires qui é m a n e n t d ' é t a t s initiaux différents, on obtiendra alors un «portrait des p h a s e s » qui fournira u n e idée
qualitative très valable des potentialités du système. Pour tous
les s y s t è m e s naturels que n o u s c o n n a i s s o n s et qui obéissent
aux lois de la t h e r m o d y n a m i q u e ( s y s t è m e s dits d i s s i p a t i f s ) , on
peut établir q u ' a u bout d ' u n certain t e m p s la trajectoire des
p h a s e s c o n v e r g e r a vers un objet de dimension strictement
inférieure à celle de l ' e s p a c e des phases, auquel on se référera
en tant q u ' a t t r a c t e u r .
1
Figure 3 - Représentation schématique d u n e trajectoire des phases,
C, dans un espace des phases à trois dimensions. P, Pt : état initial et
son image après un laps de temps t ; v : vitesse des phases, tangente
à l'élément de longueur s
N o t r e p r o g r a m m e , à la l u m i è r e de ce qui vient d ' ê t r e
dit, se réduit à une classification de tous les attracteurs que l'on
peut réaliser d a n s un espace des p h a s e s . L ' é l é m e n t le p l u s
simple que l'on peut plonger d a n s cet espace est, bien é v i d e m ment, le point. On peut par c o n s é q u e n t imaginer des attracteurs
p o n c t u e l s (fig. 4a), dont l'existence signifie q u ' a u bout d ' u n
t e m p s suffisamment long, tout état initial du s y s t è m e tendra
v e r s un r é g i m e qui ne va plus évoluer une fois établi : le
système sera alors dans un état stationnaire.
(1) Un certain nombre de termes techniques sont définis dans un encadré qui se trouve en fin d'article
e
La M é t é o r o l o g i e 8 série - n ° 5 - m a r s 1 9 9 4
41
L a possibilité qui suit le point dans la
hiérarchie des formes g é o m é t r i q u e s est la
ligne. O n peut i m a g i n e r p a r c o n s é q u e n t d e s
attracteurs s o u s forme d ' u n e ligne fermée
vers laquelle vont tendre différentes histoires possibles de notre s y s t è m e (fig. 4 b ) ,
auxquels on se référera en tant q u e cycle
limite. D a n s ce type de c o m p o r t e m e n t les
é v é n e m e n t s se répètent de façon périodique.
N o u s c o m m e n ç o n s à saisir l'intérêt de la
d é m a r c h e qualitative et d e l a notion d e l ' e s pace des phases, puisque différents c o m p o r tements p h y s i q u e s sont attachés à différents
types d'attracteurs.
On devrait à p r é s e n t c o n t i n u e r à
m o n t e r dans la hiérarchie de la c o m p l e x i t é
des figures dans l ' e s p a c e . N o u s n ' a l l o n s p a s
(a)
effectuer u n e analyse exhaustive d e ce p r o b l è m e topologique difficile, et du reste, n o n
entièrement résolu. N o u s p a s s e r o n s directeFigure 4 a - Evolution d'un système dissipatif vers un attracteur ponctuel
m e n t au c a s le plus c o m p l e x e q u e n o u s
connaissions actuellement, celui de
l'attracteur étrange (fig. 5). Contrairement
aux c a s d e s figures 4 a et 4b où, u n e fois sur
l'attracteur, le c o m p o r t e m e n t était stable et
régulier, on constate à présent q u e le système exécute sur 1 ' attracteur un m o u v e m e n t
apériodique d ' a p p a r e n c e erratique qui n ' e s t
autre q u e le c h a o s déterministe auquel nous
a v o n s déjà fait allusion au p a r a g r a p h e 1. C e
c o m p o r t e m e n t résulte de deux tendances
o p p o s é e s : u n e instabilité selon certaines
directions de l'attracteur, en coexistence
p e r m a n e n t e avec u n e stabilisation q u i e m p ê c h e les trajectoires de s ' é c h a p p e r et les
réinjecte d a n s l'attracteur. O n peut m o n t r e r
que ces deux t e n d a n c e s antagonistes ne peuvent p a s s ' a c c o m m o d e r dans le cadre de
formes g é o m é t r i q u e s simples qui d é t e r m i naient les attracteurs de nos e x e m p l e s p r é c é dents d e s figures 4 a et 4 b . U n c h a n g e m e n t
(b)
s ' i m p o s e , traduit par l'apparition d ' u n
attracteur fractal : un e n s e m b l e de points
constituant (dans le c a s particulier de la
Figure 4 b - Evolution d'un système dissipatif vers un attracteur périodique
fig. 5) un objet intermédiaire entre u n e
surface et un v o l u m e , dont la d i m e n s i o n (en général n o n entière) est supérieure à la
d i m e n s i o n q u e lui attribuerait la g é o m é t r i e euclidienne. O n est tenté de spéculer que
c 'est à d e tels objets qu ' il faudra faire appel p o u r analyser les p h é n o m è n e s c o m p l e x e s
relatifs à la variabilité a t m o s p h é r i q u e , é v o q u é s au p a r a g r a p h e 1 du présent article.
Pour étayer cette affirmation il n o u s faudra c e p e n d a n t arriver à caractériser la
c o m p l e x i t é associée au c h a o s et aux attracteurs fractals d ' u n e façon plus précise.
Application
de Poincaré
U n e a p p r o c h e très fertile du c h a o s consiste à couper transversalement les
trajectoires des p h a s e s d ' u n système à n variables par u n e (hyper) surface 5 à n - 1
d i m e n s i o n s et à é t u d i e r l ' é v o l u t i o n d e s p o i n t s s u c c e s s i f s d ' i n t e r s e c t i o n Pn
( G u c k e n h e i m e r et H o l m e s , 1983). Suivant l'attracteur q u e c e s derniers atteindront
au bout d ' u n t e m p s long, nous serons en m e s u r e d e déduire l'attracteur d a n s l ' e s p a c e
des p h a s e s initial, p u i s q u ' e n fait nous d i s p o s e r o n s de la section de cet attracteur. S
est c o n n u e sous le n o m de «surface de section de Poincaré» et la d y n a m i q u e des
points P conduit à l'application de Poincaré (fig. 6). N o t o n s q u ' i l s'agit là d ' u n e
d y n a m i q u e de caractère récurrent d a n s laquelle le t e m p s intervient de m a n i è r e
discrète, p u i s q u e les intervalles entre les intersections successives seront finis. Cette
propriété, qui facilite c o n s i d é r a b l e m e n t la tâche de la simulation n u m é r i q u e , ainsi
q u e la réduction du n o m b r e d e variables d ' u n e unité, constituent les d e u x p r i n c i p a u x
attraits de l ' é t u d e du c h a o s par le biais d e l'application d e Poincaré. E n réalité, dans
42
e
La M é t é o r o l o g i e 8 série - n° 5 - mars 1994
Figure 5 - Attracteur chaotique associé à un modèle atmosphérique à
trois variables (Lorenz, 1984) décrit par :
2
2
dx/dt = y -z -ax + aF,
dy/dt = xy - bxz - y + G,
dz/dt = bxy + xz - z
x représente l'amplitude du vent d'ouest, y et z les phases des ondes
atmosphériques à grande échelle affectant x, et aF, G des forçages
thermiques. Les variables sont sans dimension et l'unité de temps
correspond à 5 jours.
bon n o m b r e de cas, l ' a v a n t a g e peut être p o u s s é encore plus
loin. U n s y s t è m e p h y s i q u e est en effet régi par u n e multitude
d ' é c h e l l e s de t e m p s qui diffèrent de plusieurs ordres de grandeur. En vertu de la condition de dissipativité, les échelles
rapides sont associées aux m o u v e m e n t s stables. Il s'ensuit
q u ' a u bout d ' u n certain t e m p s la trace de ces m o u v e m e n t s sur
la surface de section sera éliminée, entraînant ainsi une r é d u c tion s u p p l é m e n t a i r e drastique du n o m b r e des variables impliquées dans l'application de Poincaré. Un cas limite d ' u n e telle
réduction, réalisé d ' a i l l e u r s dans bon n o m b r e de m o d è l e s
m a t h é m a t i q u e s du c h a o s et d ' e x p é r i e n c e s de laboratoire, est
celui d ' u n e récurrence à une d i m e n s i o n ,
dont l'application logistique
f=4
Figure 6 - Application de Poincaré induite par le modèle de la figure
5 sur la surface de section x = 0. On remarquera la réduction à une
dynamique quasi-unidimensionnelle
(xx(l
-x)
,
0 <x<
1 , 0 < ,u < 1
(lb)
fournit une illustration particulièrement édifiante. Les p r o g r è s
spectaculaires a c c o m p l i s en théorie du c h a o s ces 15 dernières
a n n é e s résultent en g r a n d e partie de la possibilité de r a m e n e r
un p r o b l è m e , régi au départ par un grand n o m b r e de variables c o u p l é e s de façon nonlinéaire, à des applications m o d è l e s de la forme de l'équation ( l a ) qui, malgré leur
simplicité, retiennent les caractéristiques essentielles de la d y n a m i q u e .
Dimensions
Soit un e n s e m b l e de points de d o n n é e s sur un attracteur d a n s l'espace des
p h a s e s . N o u s traçons une sphère (ou une h y p e r s p h è r e selon le n o m b r e de d i m e n s i o n s
de l ' e s p a c e ) de rayon r centrée sur un de ces points, et nous c o m p t o n s le n o m b r e de
points de d o n n é e s c o n t e n u s à l'intérieur de cette sphère (fig. 7). Si l ' o n est en
présence d ' u n objet c o n v e n t i o n n e l , ce n o m b r e sera proportionnel à r (objet à 1
d i m e n s i o n ) , à r (2 d i m e n s i o n s ) , etc.
2
S u p p o s o n s à présent que l'objet en question soit un fractal. N o u s stipulons,
en suivant le m ê m e raisonnement, que le n o m b r e de points de d o n n é e s reste lié à r
par une loi p u i s s a n c e r . D e u x cas sont alors à envisager :
D
- en se déplaçant d ' u n point de l'objet à un autre, on retrouve essentiellement
des e n v i r o n n e m e n t s identiques (fractal simple ou à une seule échelle). Cela se
traduira par l ' e x i s t e n c e d ' u n n o m b r e D unique, invariant d ' u n point à l'autre, auquel
on se référera en tant que d i m e n s i o n fractale et qui se révèle être, en général, un
n o m b r e non-entier,
- en se déplaçant d ' u n point à l'autre on trouve des e n v i r o n n e m e n t s non
identiques (fractals à plusieurs échelles ou multifractals). Cela se traduira p a r u n e
«dimension locale» D fluctuante, qui ne pourra d o n c plus fournir une caractérisation
utile de l'objet. Pour éluder cette difficulté, on recourt à un f o r m a l i s m e statistique
43
e
L a M é t é o r o l o g i e 8 série - n° 5 - m a r s 1 9 9 4
dont la p r e m i è r e étape consiste à
effectuer u n e m o y e n n e sur tous les
points d e l'objet. Ceci conduit à u n e
d i m e n s i o n fractale m o y e n n e
également non-entière, qui constitue u n e
p r e m i è r e m e s u r e globale d e la c o m plexité du s y s t è m e .
Pour aller plus loin, il est n é cessaire d e p o n d é r e r les différentes
parties de l'attracteur p a r les p r o b a bilités a v e c lesquelles elles sont visitées p a r la trajectoire. O n arrive alors
à toute u n e hiérarchie infinie de dimensions généralisées telles q u e la
d i m e n s i o n d ' i n f o r m a t i o n D , la dim e n s i o n de corrélation D etc. (voir
par e x e m p l e : T s o n i s , 1992). D e s
a l g o r i t h m e s , à présent bien établis,
permettent d ' é v a l u e r ces g r a n d e u r s à
partir des équations d ' é v o l u t i o n du
m o d è l e . C ' e s t ainsi q u e l'attracteur
c h a o t i q u e de la figure 5 est en fait u n
fractal de d i m e n s i o n d e corrélation
D ~ 2,4. C e s m ê m e s a l g o r i t h m e s
p e u v e n t d'ailleurs s ' a p p l i q u e r directement à la série temporelle p r o v e nant d ' u n e g r a n d e u r observable expérimentale, indépendamment de
toute modélisation, p o u r autant q u e
le n o m b r e d e points de d o n n é e s soit
suffisant. O n parle alors de « r e c o n s truction d y n a m i q u e » . Cette possibilité ouvre des perspectives n o u v e l l e s
Figure 7 - Représentation schématique de la procédure d'estimation de la dimension D d'un
dont la plus intéressante serait de
attracteur dans l'espace des phases
p o u v o i r caractériser d e s s y s t è m e s
naturels c o m p l e x e s à g r a n d n o m b r e de variables p a r des attracteurs de faible
d i m e n s i o n fractale. N o u s r e v i e n d r o n s à cette question au p a r a g r a p h e 3 .
2
2
Sensibilité aux
conditions initiales
et exposants de
Lyapunov
N o u s avons fait allusion au début de ce p a r a g r a p h e 2 à la c o r r e s p o n d a n c e
b i u n i v o q u e entre les points de l ' e s p a c e des p h a s e s et les états d ' u n s y s t è m e p h y s i q u e .
E n réalité, d a n s la nature, le p r o c e s s u s de la m e s u r e p a r lequel l ' o b s e r v a t e u r
c o m m u n i q u e a v e c le s y s t è m e est limité p a r u n e précision finie. Il s'ensuit q u e dans
l ' e s p a c e des p h a s e s l'«état» d ' u n s y s t è m e ne doit p a s être interprété c o m m e un point,
m a i s plutôt c o m m e u n e petite région dont l ' e x t e n s i o n 8 reflète la précision finie de
l'appareil de m e s u r e . D ' a u t r e s sources d e délocalisation d ' u n s y s t è m e d y n a m i q u e
d a n s l ' e s p a c e des p h a s e s existent également, en rapport, p a r e x e m p l e , a v e c les
arrondis n u m é r i q u e s .
Si la d y n a m i q u e du s y s t è m e sous-jacent était s i m p l e , la différence entre la
description ponctuelle et la description délocalisée n ' a u r a i t a u c u n e répercussion
notable. L a situation c h a n g e entièrement en p r é s e n c e d ' u n e d y n a m i q u e chaotique.
Pour illustrer cela n o u s représentons, sur la figure 8, l ' é v o l u t i o n de d e u x conditions
initiales voisines dont la distance e est sensée tenir c o m p t e d e s i m p r é c i s i o n s
d ' o r i g i n e s diverses, e n g e n d r é e p a r l'application logistique (eq. ( l b ) ) pour la valeur
ji = 1 du p a r a m è t r e . N o u s o b s e r v o n s q u ' a p r è s un p r e m i e r stade d ' é v o l u t i o n
c o h é r e n t e les d e u x courbes dévient, et, au b o u t d ' u n certain t e m p s , leur différence
devient c o m p a r a b l e à l ' e x t e n s i o n de l'attracteur dans son e n s e m b l e . E n d ' a u t r e s
t e r m e s , d e s états initialement indiscernables sur le plan d e l ' o b s e r v a t i o n évoluent
v e r s des états éloignés dans l ' e s p a c e des p h a s e s . N o u s n o u s référons à cette propriété
en tant que sensibilité aux conditions initiales.
E s q u i s s o n s u n e formulation quantitative de c e p h é n o m è n e . Soit ô x l ' é l o i g n e m e n t instantané des d e u x trajectoires d ' é c a r t initial ô x = e. N o u s f o r m o n s le
logarithme naturel d e |ôx|/e et é v a l u o n s sa limite p o u r les t e m p s l o n g s après avoir
pris, d ' abord, la limite de très petits e. L e résultat de cette opération p o u r 1 ' application
( l b ) a v e c |U = 1 est u n e valeur positive finie a = ln 2. C e c i entraîne que, d a n s la double
(
Q
44
e
La M é t é o r o l o g i e 8 série - n ° 5 - m a r s 1994
limite définie ci-dessus, l'écart d e s trajectoires initialement v o i s i n e s est en m o y e n n e
exponentiel. L e taux o de cet é l o i g n e m e n t sera appelé L ' e x p o s a n t d e L y a p u n o v du
s y s t è m e . D ' u n e m a n i è r e générale, nous définirons le c h a o s d é v e l o p p é c o m m e un
r é g i m e où 1 ' exposant de L y a p u n o v - défini d ' une façon a n a l o g u e à celle de l ' e x e m p l e
p r é c é d e n t - est u n n o m b r e positif. Sa valeur ( a ~ 0,2 p o u r l'attracteur de la fig.5)
fournira une n o u v e l l e m e s u r e fort utile de la c o m p l e x i t é de l'attracteur c h a o t i q u e .
A i n s i que n o u s l ' a v o n s déjà dit, l ' e x p o s a n t de L y a p u n o v est u n e g r a n d e u r
m o y e n n é e sur tout l'attracteur. U n e exploration locale de l'attracteur révélera q u e ,
t y p i q u e m e n t , d e u x états ayant la m ê m e distance initiale s ' é l o i g n e r o n t dans le t e m p s
à des vitesses inégales sur différentes parties de l'attracteur. En d ' a u t r e s t e r m e s , tout
c o m m e p o u r la d i m e n s i o n fractale, il s ' a v è r e q u e le taux local d ' é l o i g n e m e n t , s(x,t),
pourra fluctuer c o n s i d é r a b l e m e n t d ' u n point à l ' a u t r e de l'attracteur par rapport à sa
valeur m o y e n n e a . N o u s p o u v o n s définir, par c o n s é q u e n t , une distribution statistique des valeurs de s(x,t) et estimer sa v a r i a n c e et ses m o m e n t s supérieurs. N o u s
r e v i e n d r o n s sur ce point d a n s la q u a t r i è m e partie de l'article.
U n s y s t è m e multivarié p o s s è d e , en réalité, u n n o m b r e d ' e x p o s a n t s de
L y a p u n o v égal au n o m b r e de variables en p r é s e n c e , dont le plus g r a n d est identique
à l ' e x p o s a n t a défini plus haut. D ' a u t r e s e x p o s a n t s positifs p e u v e n t exister. E n
p r é s e n c e de c h a o s ils sont associés à la d i v e r g e n c e de trajectoires voisines d a n s des
directions transversales à la direction où l ' é l o i g n e m e n t se fait au taux m a x i m u m .
N o t o n s q u e la condition de dissipativité exige q u e , d a n s u n s y s t è m e d y n a m i q u e à
t e m p s continu, la s o m m e de tous les e x p o s a n t s de L y a p u n o v soit négative.
Il exige des algorithmes qui permettent d ' é v a l u e r de façon fiable les q u e l q u e s
p r e m i e r s e x p o s a n t s de L y a p u n o v d o m i n a n t s , à partir des é q u a t i o n s d ' é v o l u t i o n , ou
m ê m e à partir d ' u n signal expérimental fournissant la série temporelle d ' u n e
variable, i n d é p e n d a m m e n t d e toute m o d é l i s a t i o n (Goldhirsch et al., 1987). P o u r
obtenir le spectre complet des e x p o s a n t s , il faut par contre disposer d ' u n très grand
n o m b r e de points de d o n n é e s , difficile à atteindre dans une m e s u r e e x p é r i m e n t a l e de
c h a m p s m é t é o r o l o g i q u e s ou c l i m a t o l o g i q u e s .
DYNAMIQUE
ATMOSPHÉRIQUE
ET CHAOS
L e s m o d è l e s a t m o s p h é r i q u e s utilisés p o u r la prévision du t e m p s , ou p o u r
simuler la circulation générale de l ' a t m o s p h è r e d a n s les études de climat, reposent
sur les é q u a t i o n s de la m é c a n i q u e des fluides e x p r i m a n t des principes de conservation de g r a n d e u r s p h y s i q u e s f o n d a m e n t a l e s , telles que la quantité de m o u v e m e n t ,
l ' é n e r g i e ou la m a s s e des constituants de l ' a t m o s p h è r e (air sec, v a p e u r d ' e a u ) . C e s
é q u a t i o n s sont non-linéaires, du fait q u e d a n s u n fluide les g r a n d e u r s d ' é t a t sont
transportées par la vitesse d ' é c o u l e m e n t qui fait e l l e - m ê m e partie de l ' e n s e m b l e de
ces g r a n d e u r s . U n certain n o m b r e d ' a p p r o x i m a t i o n s (équilibre hydrostatique)
peuvent être introduites p o u r filtrer certains types d'oscillations indésirables ( o n d e s
acoustiques). L e s sources et les puits de ces diverses g r a n d e u r s , p r o v e n a n t de
p r o c e s s u s non résolus explicitement, sont introduits sous forme de paramétrisations.
L e s y s t è m e d ' é q u a t i o n s aux dérivées partielles qui en résulte est par la suite
transformé en un s y s t è m e d ' é q u a t i o n s différentielles ordinaires c o u p l é e s , soit par
d é c o m p o s i t i o n sur une b a s e de fonctions appropriées à la g é o m é t r i e du p r o b l è m e
(par e x e m p l e les h a r m o n i q u e s sphériques), soit en a p p r o c h a n t les opérateurs de
dérivée spatiale par des différences finies calculées sur les points d ' u n e grille. Quelle
q u e soit la t e c h n i q u e utilisée, on se r a m è n e de la sorte à u n s y s t è m e d y n a m i q u e à
n o m b r e fini ( m a i s p o u v a n t dépasser plusieurs millions dans les m o d è l e s de prévision
actuels) de variables couplées, où les conditions aux limites apparaissent c o m m e des
p a r a m è t r e s de contrôle.
La prévision consiste, en partant d ' u n point choisi d a n s l ' e s p a c e des p h a s e s
p o u r représenter au m i e u x la condition initiale en fonction d e s o b s e r v a t i o n s d i s p o nibles (initialisation), à calculer n u m é r i q u e m e n t au m o y e n d ' u n e discrétisation
t e m p o r e l l e la trajectoire de ce s y s t è m e d y n a m i q u e (intégration du m o d è l e ) . D a n s les
utilisations opérationnelles courantes, en prévision du t e m p s ou en simulation du
climat, on c h e r c h e à conserver le m a x i m u m de degrés de liberté c o m p a t i b l e s avec
les m o y e n s de calcul disponibles, de m a n i è r e à arriver à une résolution spatiale aussi
fine que possible. Ceci p e r m e t de simuler le p l u s e x a c t e m e n t possible le c o m p o r t e m e n t de l ' a t m o s p h è r e , m a i s a l ' i n c o n v é n i e n t que les structures essentielles p e u v e n t
être m a s q u é e s par une multitude de fluctuations secondaires, et ne p e u v e n t être m i s e s
en é v i d e n c e q u ' a u t e r m e de p r o c é d u r e s laborieuses d ' a n a l y s e des résultats par des
m é t h o d e s appropriées (par e x e m p l e l'analyse en c o m p o s a n t e s principales). Par
e
L a M é t é o r o l o g i e 8 série - n° 5 - m a r s 1994
45
ailleurs le coût informatique d ' u n e intégration, qui se chiffre usuellement en dizaines
d ' h e u r e s de calcul sur les super-ordinateurs les plus performants (par e x e m p l e Cray2 et C-98 de M é t é o - F r a n c e ) , limite fortement le n o m b r e de trajectoires que l ' o n peut
calculer, ce qui ne p e r m e t ni la génération d ' u n e n s e m b l e important de trajectoires,
ni une exploration s y s t é m a t i q u e de l ' e s p a c e des p a r a m è t r e s . Pour toutes ces raisons,
il p e u t être i n t é r e s s a n t d ' e x p l o r e r u n e a u t r e v o i e en e s s a y a n t de r é d u i r e
s y s t é m a t i q u e m e n t le n o m b r e de degrés de liberté du s y s t è m e , tout en gardant la
structure de base sous-jacente des é q u a t i o n s .
L ' a p p r o c h e consistant à chercher une simplification m a x i m a l e des équations
p o u r aboutir à un m o d è l e fortement tronqué, a été d é v e l o p p é e s y s t é m a t i q u e m e n t
dans les a n n é e s 6 0 c o m m e m o y e n d ' a n a l y s e des équations, et a p e r m i s de mettre en
lumière certains aspects f o n d a m e n t a u x de la d y n a m i q u e non linéaire (Lorenz, 1982).
C e s m o d è l e s n u m é r i q u e s simplifiés, qui ont l ' a v a n t a g e de concentrer l'attention sur
les p h é n o m è n e s les plus importants, ont j o u é un rôle essentiel bien au-delà de la
météorologie, puisqu 'ils ont été à la base de la théorie m o d e r n e du c h a o s déterministe.
D a n s ce qui suit n o u s d o n n o n s un bref aperçu de quelques e x e m p l e s représentatifs
en rapport a v e c la circulation a t m o s p h é r i q u e , l ' a n o m a l i e El N i n o et le climat global.
Modèles
de circulation
atmosphérique
à basse résolution
En 1 9 6 3 , L o r e n z d é v e l o p p a u n m o d è l e simplifié de la convection t h e r m i q u e ,
où les c h a m p s de vitesse et de t e m p é r a t u r e associés à une cellule de R a y l e i g h - B é n a r d
étaient d é v e l o p p é s en série de Fourier et où une troncature au premier m o d e pour la
vitesse et aux deux p r e m i e r s m o d e s de Fourier p o u r la température était effectuée.
C e m o d è l e de 3 équations différentielles a révélé une richesse tout à fait surprenante
de c o m p o r t e m e n t s , et a été utilisé c o m m e prototype de c h a o s déterministe à petit
n o m b r e de degrés de liberté dans un n o m b r e considérable d'articles scientifiques.
B i e n que d é v e l o p p é à l'origine p o u r étudier la convection, il peut é g a l e m e n t
représenter des p h é n o m è n e s de g r a n d e échelle, car on le retrouve en introduisant une
approximation q u a s i - g é o s t r o p h i q u e dans un s y s t è m e d ' é q u a t i o n s en eau peu profonde représentant 1 ' interaction d ' u n e onde dissipative forcée a v e c un relief (Lorenz,
1980). O n m o n t r e que l'attracteur de ce m o d è l e quasi-géostrophique et celui du
modèle en équations primitives correspondant (à 9 composantes) sont qualitativement
similaires, mais p o u r des valeurs différentes du p a r a m è t r e de forçage. P o u r des
valeurs plus fortes du forçage, les attracteurs du m o d è l e en équation de balance
associé et de ce m o d è l e en équations primitives ont des d i m e n s i o n s différentes, en
raison des o n d e s de gravité qui peuvent être entretenues par ce dernier ( S u n d e r m e y e r
et Vallis, 1993).
C o u p l é à un oscillateur linéaire représentant l ' a t m o s p h è r e tropicale, le
m o d è l e a également été utilisé par P a l m e r (1992) p o u r illustrer le rôle des m o y e n n e s
temporelles et des m o y e n n e s d ' e n s e m b l e , ainsi que l ' i m p a c t des interactions
tropique-extratropique sur les r é g i m e s de t e m p s et la prévisibilité.
Ondes planétaires
et blocage
D e p u i s l o n g t e m p s les synopticiens ont r e m a r q u é l'apparition s p o r a d i q u e de
r é g i m e s particuliers d ' é c o u l e m e n t se produisant préférentiellement d a n s certaines
régions, et fait la distinction entre les r é g i m e s d ' é c o u l e m e n t z o n a u x et b l o q u é s
pouvant persister pendant des durées plus longues que celle des perturbations
synoptiques. L ' i d é e est assez difficile à formaliser car elle est b a s é e sur une
séparation des échelles de m o u v e m e n t entre les échelles synoptiques des dépressions
qui sont m o b i l e s , et l ' é c h e l l e de l ' é c o u l e m e n t planétaire qui varie plus lentement et
pilote la trajectoire de ces dépressions transitoires. Les caractéristiques de ces
r é g i m e s sont une localisation g é o g r a p h i q u e préférentielle, une certaine persistance
de durée variable et une t e n d a n c e à être récurrents, alors que les transitions entre
r é g i m e s sont g é n é r a l e m e n t rapides. L ' e x i s t e n c e de r é g i m e s d ' é c o u l e m e n t multiples
dans la circulation aux m o y e n n e s latitudes a été confirmée par des études statistiques
qui ont révélé une bimodalité dans la densité de probabilité de l ' a m p l i t u d e des o n d e s
planétaires ( H a n s e n et Sutera, 1990) ou encore par diverses m é t h o d e s de classification a u t o m a t i q u e des c h a m p s en altitude, des cartes de corrélation. Connaître
l ' o r i g i n e d e c e s r é g i m e s quasi-stationnaires est important pour c o m p r e n d r e la
variabilité à basse fréquence de l ' a t m o s p h è r e et la prévision à l o n g u e é c h é a n c e . La
possibilité d ' e x p l i q u e r les r é g i m e s de t e m p s c o m m e des états d ' é q u i l i b r e multiples
de l ' é c o u l e m e n t à g r a n d e échelle a été discutée dans de n o m b r e u s e s études théoriques qui ont suivi le concept introduit par Charney et D e V o r e (1979), et ont souligné
la nécessité de décrire la variabilité à b a s s e fréquence d a n s le cadre de la théorie d e s
systèmes dynamiques.
46
e
La M é t é o r o l o g i e 8 série - n° 5 - m a r s 1994
U n m o d è l e de 3 équations différentielles a été p r o p o s é par Lorenz ( 1 9 8 4 )
pour illustrer certains aspects de la circulation g é n é r a l e de l ' a t m o s p h è r e en rapport
a v e c ces p h é n o m è n e s . Ce m o d è l e schématise l'interaction d ' u n e onde barocline
u n i q u e a v e c un courant zonal en présence de dissipation, d ' u n forçage méridien et
d ' u n forçage non zonal représentant un contraste t h e r m i q u e continent-océan. Pour
certaines valeurs du p a r a m è t r e de forçage, il prévoit d e u x solutions périodiques
stables représentant des oscillations rapides de petite a m p l i t u d e ou une oscillation
plus lente et de plus g r a n d e amplitude. Les trajectoires c o n v e r g e n t d o n c vers l ' u n ou
1 ' autre type de c o m p o r t e m e n t p é r i o d i q u e selon que la condition initiale appartient au
bassin d'attraction de l ' u n e ou de l'autre solution. L e s d e u x bassins d'attraction
apparaissent c o m m e relativement enchevêtrés (Lorenz, 1990), et toute imprécision
sur la condition initiale, particulièrement si elle se trouve au voisinage de la frontière
entre les deux bassins, peut avoir c o m m e c o n s é q u e n c e une impossibilité de prévoir
a v e c certitude le type de c o m p o r t e m e n t a s y m p t o t i q u e à long t e r m e ( S o m m e r e r et Ott,
1993). Pour d ' a u t r e s valeurs du forçage, la d y n a m i q u e est c h a o t i q u e . L'attracteur,
déjà introduit pour illustrer l ' i d é e du c h a o s (fig. 5), a une structure fractale. Les
v a r i a t i o n s a p é r i o d i q u e s du c o u r a n t zonal p r é v u e s par le m o d è l e p r é s e n t e n t
qualitativement u n e certaine analogie a v e c les variations irrégulières d e la circulation d ' o u e s t o b s e r v é e s en hiver aux latitudes m o y e n n e s . En outre, on m o n t r e q u ' e n
p r é s e n c e d ' u n e variation saisonnière du forçage, ce système peut simuler de fortes
variations interannuelles a v e c une alternance irrégulière entre des étés actifs,
m a r q u é s p a r de fortes oscillations du courant d ' o u e s t , et d e s étés inactifs où les
oscillations restent faibles. Le caractère de la circulation de l'été suivant est ainsi fixé
de façon pratiquement aléatoire par la position de la trajectoire c h a o t i q u e par rapport
aux deux «répulseurs» p r o v e n a n t de la déstabilisation des solutions périodiques lors
de la bifurcation de l'attracteur c h a o t i q u e . C e m o d è l e , qui n e prétend pas être un
m o d è l e réaliste de la circulation générale, a le mérite de montrer que la d y n a m i q u e
interne de l ' a t m o s p h è r e pourrait suffire à e n g e n d r e r des fluctuations interannuelles
importantes de la circulation a t m o s p h é r i q u e sans l'intervention d ' u n forçage extérieur par l ' o c é a n ou d ' a u t r e s conditions en surface. S a l t z m a n et al. ( 1 9 8 9 ) ont m o n t r é
que ce type de m o d è l e pouvait être obtenu en introduisant une approximation dans
un m o d è l e plus général à 8 c o m p o s a n t e s , et ont étudié une version réduite à 3
c o m p o s a n t e s un peu plus générale que le m o d è l e de Lorenz. Leur m o d è l e illustre les
possibilités d ' u n e interaction q u a s i - r é s o n n a n t e entre une o n d e barocline longue et un
forçage t h e r m i q u e p o u v a n t expliquer une vacillation avec une période de 2 0 j o u r s
et une bimodalité de l ' a m p l i t u d e de l ' o n d e .
Modèles de El Niho
D e s m o d è l e s simplifiés ont été d é v e l o p p é s p o u r tenter de reproduire les
variations interannuelles d a n s les régions tropicales, telles que le p h é n o m è n e El
N i n o et Oscillation Australe ( E N O A ) qui se manifeste par un réchauffement de la
température o c é a n i q u e dans la partie Est du Pacifique équatorial à intervalles
irréguliers. U n e analyse spectrale met en évidence un spectre a v e c un m a x i m u m vers
4-5 ans, mais la largeur de ce pic spectral m o n t r e que ce n ' e s t pas à p r o p r e m e n t parler
un p h é n o m è n e périodique. Les succès de la prévision du El Nino à des é c h é a n c e s de
l'ordre de l ' a n n é e par des m o d è l e s d y n a m i q u e s simplifiés, tels que le m o d è l e de
Cane et Z e b i a k (1985), suggèrent que ce p h é n o m è n e présente qualitativement les
principales caractéristiques du c h a o s déterministe, et ont conduit Vallis ( 1 9 8 8 ) à
proposer un m o d è l e à 3 c o m p o s a n t e s (la température dans les parties Est et Ouest du
Pacifique et le courant de dérive) a v e c une non-linéarité quadratique. C e s y s t è m e ,
qui contient une p h y s i q u e m i n i m a l e (une rétroaction simple entre les températures
à l ' O u e s t et à l'Est du Pacifique et le v e n t zonal produisant un courant de dérive qui
va advecter les températures), est formellement s e m b l a b l e aux équations de Lorenz
de 1 9 6 3 , mais a v e c une asymétrie due à l'influence du vent m o y e n (alizés). La
trajectoire c h a o t i q u e e n g e n d r é e par le m o d è l e oscille de façon intermittente autour
de d e u x états stationnaires instables, et les configurations associées au v o i s i n a g e
d ' u n de ces états c o r r e s p o n d e n t à des situations rappelant El N i n o . En p r é s e n c e d ' u n e
variation périodique d ' u n des p a r a m è t r e s , simulant l'influence du cycle annuel des
alizés, la transition vers une situation El N i n o ne se produit que pendant certaines
p h a s e s du cycle annuel, c o m m e c ' e s t le c a s d a n s la réalité.
Un autre m o d è l e conceptuel ( K r i s h n a m u r t h y et al., 1993) p r o p o s e d ' e x p l i quer l'apériodicité du E N O A par le c o u p l a g e d'oscillations chaotiques à haute
fréquence et d'oscillations linéaires à basse fréquence. C e m o d è l e représente l ' o c é a n
par un oscillateur linéaire à basse fréquence ayant une période propre de 4 ans, couplé
au m o d è l e de L o r e n z ( 1 9 8 4 ) qui simule les variations intrasaisonnières chaotiques
de l ' a t m o s p h è r e . L e c o u p l a g e a p o u r effet d'élargir le spectre de l'oscillateur linéaire
et de le rendre apériodique.
e
La M é t é o r o l o g i e 8 série - n° 5 - m a r s 1994
Modèles climatiques
47
D e s m o d è l e s simplifiés ont également été appliqués à l'étude des variations
climatiques à long terme, telles que la récurrence des transitions glaciaire-interglaciaire
qui se répètent avec une pseudo-périodicité d ' e n v i r o n 100 0 0 0 ans. S a l t z m a n et al.
( 1 9 8 1 , 1 9 8 4 , 1 9 8 7 ) ont proposé un m o d è l e à 2 variables décrivant l'évolution de la
quantité totale de glace et de la température m o y e n n e de la surface des océans, ainsi
q u ' u n e série de m o d è l e s à 3 variables tenant c o m p t e en outre de la température de
la thermocline ou de la quantité de C O , dans l ' a t m o s p h è r e . Le m o d è l e à 2 variables
prévoit des c o m p o r t e m e n t s p é r i o d i q u e s , m a i s , en présence d ' u n forçage tenant
c o m p t e des variations d'insolation, une bifurcation vers un attracteur c h a o t i q u e peut
avoir lieu (Nicolis, 1987). D e s c o m p o r t e m e n t s apériodiques peuvent é g a l e m e n t être
générés par le c o u p l a g e de 2 oscillateurs de S a l t z m a n , simulant la d y n a m i q u e
couplée des deux h é m i s p h è r e s (Nicolis, 1984).
Le principal mérite des modèles à 3 variables est de reproduire qualitativement,
en p r é s e n c e du forçage a s t r o n o m i q u e , les derniers cycles glaciaire - interglaciaire
tels q u ' i l s ressortent des m e s u r e s de la c o m p o s i t i o n isotopique en o x y g è n e des
carottes o c é a n i q u e s . En outre, on parvient à rendre c o m p t e , l o r s q u ' u n des p a r a m è t r e s
de contrôle varie légèrement autour d ' u n e valeur caractéristique, du c h a n g e m e n t de
c o m p o r t e m e n t des oscillations glaciaires qui s'est produit vers 9 0 0 0 0 0 ans avant le
présent.
En c o n c l u s i o n , n o u s a v o n s vu q u e d e s solutions c h a o t i q u e s p e u v e n t être
o b t e n u e s d a n s les m o d è l e s que nous v e n o n s de passer en revue pour certaines valeurs
des p a r a m è t r e s de contrôle. C e p e n d a n t ces m o d è l e s , en raison de leur faible
troncature, ne sont pas totalement réalistes, et les régimes chaotiques obtenus ne sont
pas robustes vis-à-vis d ' u n e modification du m o d è l e , telle q u ' u n e a u g m e n t a t i o n de
ses degrés de liberté. Le c h a o s ainsi obtenu pourrait en partie être fictif. Pour
d é m o n t r e r que l ' a t m o s p h è r e obéit bien à une d y n a m i q u e c h a o t i q u e , il faut analyser
p l u s en détail les caractéristiques d e l'attracteur climatique ou a t m o s p h é r i q u e en
appliquant les techniques d ' a n a l y s e non linéaire sur les d o n n é e s e x p é r i m e n t a l e s .
Reconstruction
dynamique et
dimensions
La motivation principale p o u r le calcul de d i m e n s i o n s associées à divers
c h a m p s g é o p h y s i q u e s est la spéculation que les fluctuations climatiques pourraient
être g o u v e r n é e s par des attracteurs de basse d i m e n s i o n . A p r e m i è r e vue cela pourrait
paraître paradoxal puisque le n o m b r e de variables nécessaire pour décrire l'état
instantané de l ' a t m o s p h è r e (en d ' a u t r e s t e r m e s la dimension de l ' e s p a c e des phases)
est tellement élevé que l'on peut le considérer c o m m e p r a t i q u e m e n t infini. C e p e n dant, le caractère dissipatif de la d y n a m i q u e qui contracte les v o l u m e s au cours du
t e m p s pourrait faire que la dimension de l'attracteur soit en réalité b e a u c o u p plus
petite que celle de l ' e s p a c e des phases, offrant ainsi la possibilité de représenter la
d y n a m i q u e a t m o s p h é r i q u e au m o y e n d ' u n s y s t è m e d y n a m i q u e ayant un n o m b r e
réduit de degrés de liberté. Cette question du n o m b r e minimal de variables effectives
est d o n c d ' u n grand intérêt théorique et pratique, et pourrait avoir des implications
considérables pour la modélisation en permettant de filtrer les m o d e s non significatifs, ou de les représenter s i m p l e m e n t par des p r o c e s s u s aléatoires.
Les p r e m i è r e s études sur des séries m é t é o r o l o g i q u e s et climatiques ont mis
en évidence des attracteurs de dimension relativement faible. L ' a n a l y s e par Nicolis
et Nicolis ( 1 9 8 4 ) de séries p a l é o c l i m a t i q u e s de concentration isotopique de l ' o x y g è n e , montrait l'existence d ' u n attracteur de d i m e n s i o n c o m p r i s e entre 3 et 4.
D ' a u t r e s analyses de séries p a l é o c l i m a t i q u e s ont conclu à une d i m e n s i o n c o m p r i s e
entre 4 et 6 ( M a a s c h , 1989). D e s études sur des d o n n é e s journalières de géopotenticl
à 5 0 0 hPa ( K e p p e n n e et Nicolis, 1989) ou de pression en surface (Fraedrich, 1986,
1987) ont d o n n é des d i m e n s i o n s supérieures à 6. En outre, l'utilisation de séries à
résolution très fine sur le vent s e m b l e d o n n e r lieu à un attracteur de d i m e n s i o n 7,3
(Tsonis et Elsner, 1988). U n e analyse d ' u n e simulation de 20 a n n é e s d ' u n m o d è l e
de circulation générale (Barker et V a n Zyl, 1993) a d o n n é une d i m e n s i o n voisine de
6 p o u r les m o y e n n e s latitudes, m a i s u n e plus g r a n d e (supérieure à 11) d a n s les
tropiques, ce qui constitue un a r g u m e n t s u p p l é m e n t a i r e en faveur de l'idée que
certains p h é n o m è n e s a t m o s p h é r i q u e s importants relèvent d ' u n c h a o s de basse
dimension.
D e s d i m e n s i o n s faibles ont é g a l e m e n t été trouvées p o u r 1 ' intensité des pluies
(Sharifi et al., 1990), ou pour la pression en surface a v e c une division assez arbitraire
des séries entre hiver et été (Fraedrich, 1986). Islam et al. (1993) ont suggéré que les
sous-estimations de la dimension pouvaient résulter de la présence de contraintes
48
e
La M é t é o r o l o g i e 8 série - n° 5 - mars 1994
p h y s i q u e s et de p h é n o m è n e s à seuil dans certaines variables, ce qui est le cas p o u r
la condensation et les précipitations. L e u r article p o s e ainsi clairement le p r o b l è m e
du choix de la série temporelle utilisée p o u r reconstruire l'attracteur du s y s t è m e . Le
choix de l'intervalle de t e m p s utilisé d a n s la reconstruction d y n a m i q u e , qui doit être
tel que les séries soient linéairement i n d é p e n d a n t e s , peut é g a l e m e n t influencer les
résultats. Grassberger (1986) et Ruelle ( 1 9 9 0 ) ont souligné l ' i m p o r t a n c e de la
longueur de la série analysée. Ruelle affirme q u e les estimations de d i m e n s i o n qui
ne sont pas inférieures à 2 l o g N (ou N est le n o m b r e de d o n n é e s ) ne sont pas fiables.
Essex et N e r e n b e r g (1991) et T s o n i s et al. (1993) ont r é e x a m i n é cette question et
p r o p o s e n t un critère m o i n s s é v è r e .
La difficulté, c o m m e pour b e a u c o u p d ' a u t r e s travaux de m é t é o r o l o g i e et de
climatologie, est q u e les d o n n é e s e x p é r i m e n t a l e s sont souvent de d u r é e et de qualité
insuffisante pour parvenir à des estimations suffisamment précises. Le statut du
c h a o s de basse d i m e n s i o n en d y n a m i q u e a t m o s p h é r i q u e continuera d o n c certainem e n t à retenir l'attention des spécialistes d a n s les a n n é e s à venir.
PRÉVISIBILITÉ
R e v e n o n s à l ' e x p é r i e n c e n u m é r i q u e relative à la sensibilité aux conditions
initiales (figure 8). P o u r un observateur, la constatation q u e d e s états initiaux
indiscernables sur le plan opérationnel finissent par
suivre des c o u r s entièrement différents, signalera
de toute é v i d e n c e l ' i m p o s s i b i l i t é de prévoir, audelà d ' u n certain laps de t e m p s , le futur du s y s t è m e
étudié à partir de la c o n n a i s s a n c e des conditions
présentes.
Les s y s t è m e s donnant lieu à une d y n a m i q u e
c h a o t i q u e sont d o n c i n t r i n s è q u e m e n t imprévisibles
à long terme, en dépit du caractère déterministe des
lois d ' é v o l u t i o n r e s p o n s a b l e s de cette m ê m e dynam i q u e ! L'objectif de ce p a r a g r a p h e est d ' e x p l o r e r
la notion de prévisibilité d ' u n e façon plus a p p r o fondie et d ' a n a l y s e r ses répercussions en m é t é o r o logie.
F o r m u l o n s d ' a b o r d en t e r m e s quantitatifs le
p r o b l è m e de la c r o i s s a n c e d ' u n e petite erreur initiale e. Soient x un état initial sur l ' a t t r a c t e u r , ^ un
état vers lequel x est projeté suite à l'erreur en
question. N o u s d é s i g n o n s par x(t, xj ety(t,yj
les
i m a g e s de ces deux états après un laps de t e m p s t.
Par définition, l'erreur instantanée £ est :
g
Figure 8 - Evolution de deux conditions initiales voisines (s = 0,01) de la variable
x dans l'application logistique (éq. 1b)
E= \y(t,yj-x(t,xj\,
étant entendu que E = \y -x \
= e. Le choix de la n o r m e
|.| dans l ' e s p a c e des p h a s e s est arbitraire,mais dans ce qui suit on choisira la n o r m e
euclidienne.
g
0
g
Suite à la c o m p l e x i t é de la d y n a m i q u e a t m o s p h é r i q u e et, d ' u n e m a n i è r e plus
g é n é r a l e , des s y s t è m e s d o n n a n t lieu à du c h a o s , £ fluctue c o n s i d é r a b l e m e n t à la fois
dans le t e m p s et lorsque l ' o n se déplace sur l'attracteur, c o m m e c'était déjà le cas
a v e c les d i m e n s i o n s D et les taux de d i v e r g e n c e locaux s(x,t) d a n s l ' a n a l y s e du
p a r a g r a p h e 2. D a n s le but de rattacher n é a n m o i n s la d y n a m i q u e d e l ' e r r e u r a u x
propriétés intrinsèques du s y s t è m e , et en particulier à la structure de son attracteur,
nous a d o p t o n s un point de vue probabiliste : on répète l'opération conduisant kE
p o u r u n g r a n d n o m b r e de c o n d i t i o n s initiales parcourant l'attracteur, et on effectue
u n e m o y e n n e sur ces réalisations. On arrive ainsi à l'erreur m o y e n n e (ou si
nécessaire à des m o m e n t s supérieurs) :
<E>=Jdx p/xj
g
|y(t, )
yi
-x(t,x^\
(2)
où p(xj
est la distribution invariante sur l'attracteur, c'est-à-dire la fréquence
relative a v e c laquelle les trajectoires visitent l ' e s p a c e des p h a s e s au v o i s i n a g e de ce
point (Nicolis et Nicolis, 1991).
L a sensibilité aux conditions initiales, propre à la d y n a m i q u e c h a o t i q u e
(figure 8) et à la c o m p l e x i t é a t m o s p h é r i q u e (figure 1), i m p l i q u e que <E > doit croître
a v e c le t e m p s . D ' a u t r e part, puisque tout c o m p o r t e m e n t explosif vers l'infini est
exclu, < £ > doit bien être b o r n é e par une valeur finie. La figure 9 r é s u m e le bilan
49
e
L a M é t é o r o l o g i e 8 série - n° 5 - m a r s 1994
d e ces d e u x t e n d a n c e s a n t a g o n i s t e s pour le m o d è l e
a t m o s p h é r i q u e à trois variables dont 1 ' attracteur est
m o n t r é d a n s la figure 5 . T r o i s étapes distinctes de
l ' é v o l u t i o n de l ' e r r e u r s'en d é g a g e n t : un court
intervalle de t e m p s pendant lequel les erreurs restent petites (à condition bien sûr q u e £ l u i - m ê m e soit
petit); un r é g i m e intermédiaire où les erreurs transitent r a p i d e m e n t vers des valeurs a p p r é c i a b l e s aux
alentours d ' u n t e m p s t* ~ l/aln(l/e)
pour lequel la
courbe < £ > présente un point d'inflexion; et
finalement un long intervalle où l'erreur atteint un
n i v e a u d e saturation d e l ' o r d r e d e l ' e x t e n s i o n d e
l'attracteur d a n s son e n s e m b l e (Nicolis et Nicolis,
1991 ; R o y e r e t a l . , 1993). C e c o m p o r t e m e n t est loin
d ' ê t r e limité au seul m o d è l e d e la figure 5 : il est
partagé par tous les s y s t è m e s c h a o t i q u e s p o s s é d a n t
d e s propriétés « e r g o d i q u e s » suffisamment fortes,
garantissant q u ' a u b o u t d ' u n t e m p s suffisant la
distribution de probabilité sur l'attracteur tend vers
la distribution invariante pjxj
(cf. équation (2)).
Figure 9 - Evolution d'une erreur initiale
moyenne E - 0 , 0 1 dans le modèle de la figure 5
A u vu de la définition de l ' e x p o s a n t de L y a p u n o v , on pourrait s ' a t t e n d r e à
que lors de la p r e m i è r e étape, la croissance d e l ' e r r e u r (début de l'évolution de
figure 9) soit exponentielle, a v e c un e x p o s a n t égal au plus grand e x p o s a n t
L y a p u n o v a. U n e étude détaillée de ce r é g i m e m o n t r e q u ' i l n ' e n est rien :
croissance n ' e s t ni exponentielle, ni régie par o. En écrivant
<E>
= ee V
ce
la
de
la
(3)
on s'aperçoit en effet que CT .dépend du t e m p s , prenant aux t e m p s courts des v a l e u r s
plus g r a n d e s q u e o ( c o m p o r t e m e n t s u r - e x p o n e n t i e l ) . U n e conjecture r a i s o n n a b l e
serait que, p o u r d e s v a l e u r s i n t e r m é d i a i r e s du t e m p s , a t t e n d e v e r s a . E n réalité, le
régime de petites erreurs c è d e e n t r e - t e m p s la place au r é g i m e transitoire vers le
niveau de saturation, de sorte q u e l ' e x p o s a n t o ne régit j a m a i s la loi de croissance d e s
erreurs. L ' e x p l i c a t i o n de ce p h é n o m è n e inattendu réside, une fois d e plus, d a n s la
variabilité de l'attracteur suite à laquelle les taux de d i v e r g e n c e l o c a u x s(x,t)
fluctuent c o n s i d é r a b l e m e n t autour de o (Nicolis et Nicolis, 1993). L ' o p é r a t i o n d e
m o y e n n e de ces effets locaux sur tout l'attracteur détruit le caractère exponentiel, à
cause de la d é p e n d a n c e non-linéaire d e l'erreur locale £ p a r rapport à s (x,t).
fl
(
D e u x c o m p l i c a t i o n s s u p p l é m e n t a i r e s par rapport à la situation c l a s s i q u e ,
s u g g é r é e par l ' é t u d e de m o d è l e s stylisés de c h a o s , méritent d ' ê t r e signalées. Pour d e s
t e m p s très c o u r t s , il peut arriver q u e < £ > d i m i n u e (p < 0 d a n s l ' é q u a t i o n (3)), avant
de d é m a r r e r d a n s son r é g i m e de croissance sur-exponentielle, et, pour les t e m p s
m o d é r é s , cette croissance sur-exponentielle peut être m o d u l é e par u n e lente oscillation. L ' e x p l i c a t i o n d e ces p h é n o m è n e s c u r i e u x , qui se rencontrent d ' a i l l e u r s tous les
deux sur le m o d è l e a t m o s p h é r i q u e à trois variables de la figure 5, est la suivante. U n e
perturbation associée à u n e erreur « g é n é r i q u e » d é p l a c e m o m e n t a n é m e n t ce s y s t è m e
d e son attracteur. P u i s q u e celui-ci j o u i t d e la p r o p r i é t é d e stabilité, la r é p o n s e du
s y s t è m e à l'erreur initiale sera d ' a b o r d d e rétablir l'attracteur, ce qui peut entraîner
la diminution de la perturbation (erreur) initiale. Q u a n t à la m o d u l a t i o n , elle traduit
le fait q u e la variabilité d e l ' e x p o s a n t d e L y a p u n o v local s(x,t) autour d e sa m o y e n n e
n ' e s t pas un simple bruit b l a n c , m a i s p o s s è d e en général des fréquences privilégiées
q u e l ' o n peut d ' a i l l e u r s déjà déceler sur le spectre de p u i s s a n c e des variables du
modèle.
eff
R é s u m o n s les points essentiels. D a n s un s y s t è m e à d y n a m i q u e c h a o t i q u e la
prévision d e s v a l e u r s futures d ' u n e variable a v e c u n e précision d o n n é e d ' a v a n c e est
limitée à un intervalle de t e m p s de l ' o r d r e de I/o. A l'intérieur de cet intervalle, la
qualité de la prévision n ' e s t p a s c o n s t a n t e , m a i s d é p e n d d ' u n e façon c o m p l e x e de la
d y n a m i q u e i n s t a n t a n é e . La prise d e c o n s c i e n c e q u e c e s limitations, d ' a i l l e u r s b i e n
familières au prévisionniste, reposent sur d e s principes f o n d a m e n t a u x de la p h y s i q u e
plutôt que sur d e s difficultés p a s s a g è r e s liées à la qualité de nos i n s t r u m e n t s de
m e s u r e o u à la c a p a c i t é d e n o s o r d i n a t e u r s , constitue un p r o g r è s scientifique majeur
destiné à m a r q u e r p r o f o n d é m e n t la m é t é o r o l o g i e , et les sciences de la T e r r e en
général, d a n s les a n n é e s à venir.
50
e
La M é t é o r o l o g i e 8 série - n° 5 - m a r s 1994
Q u e peut-on dire sur le devenir d ' u n s y s t è m e chaotique au-delà du « t e m p s de
L y a p u n o v » I/o'? P u i s q u ' e n vertu de la sensibilité a u x conditions initiales, la notion
de trajectoire perd sa signification, il faut de toute é v i d e n c e recourir à u n e a p p r o c h e
probabiliste. L e s météorologistes avaient déjà c o m p r i s l'intérêt d ' u n e telle approche
bien avant l ' a v è n e m e n t d e la théorie du chaos, n o t a m m e n t en rapport avec la
prévision d ' é v é n e m e n t s qui p o u v a i e n t être classés d a n s un n o m b r e limité de
possibilités : conditions c y c l o n i q u e s ou anticycloniques, n o m b r e de j o u r n é e s e n s o leillées, c o u v e r t e s ou pluvieuses sur une certaine période, etc. Plus r é c e m m e n t , il est
de plus en p l u s question d e «prévisions M o n t e - C a r l o » où l ' o n effectue d e s statistiques sur plusieurs trajectoires individuelles lancées parallèlement à partir d ' u n
m o d è l e n u m é r i q u e détaillé de prévision du t e m p s . C e s a p p r o c h e s intéressantes se
heurtent c e p e n d a n t d ' e m b l é e à des difficultés conceptuelles ; quelle est la nature du
processus d e p a s s a g e entre ces états discrets de l ' e n s e m b l e ? C o m m e n t se servir de
la m é t h o d e de M o n t e - C a r l o pour prévoir le devenir d ' u n e trajectoire de référence
particulière ? C ' e s t ici q u e d e u x d é v e l o p p e m e n t s récents de la d y n a m i q u e n o n linéaire - la théorie statistique du chaos et la prédiction non-linéaire - fournissent
quelques idées qui pourraient constituer autant d ' é l é m e n t s de réponse.
L a théorie statistique du c h a o s est b a s é e sur l ' é q u a t i o n d ' é v o l u t i o n de la
distribution de probabilité p(x,t) au cours du t e m p s , c o n n u e s o u s le n o m de
l'équation de Frobenius-Perron (Lasota et M a c k e y , 1985). U n e filière particulière
consiste à subdiviser l ' e s p a c e d e s p h a s e s en cellules discrètes représentant les
différents «états» m e s u r a b l e s du s y s t è m e , et à suivre le p r o c e s s u s de transition de la
trajectoire d e s p h a s e s entre c e s cellules. M o y e n n a n t certaines c o n d i t i o n s sur la
partition de l ' e s p a c e et sur la d y n a m i q u e , on parvient à m o n t r e r que ce p r o c e s s u s est
markovien (processus aléatoire dont la m é m o i r e est limitée au dernier état visité),
et à é v a l u e r la matrice d e transition c o r r e s p o n d a n t e à partir d e la d y n a m i q u e
déterministe sous-jacente (Nicolis, 1990). E n r e v a n c h e si ces conditions ne sont pas
remplies, le p r o c e s s u s sera n o n - m a r k o v i e n (processus à m é m o i r e ) et le p r o b l è m e de
la prévision s e trouvera c o m p l è t e m e n t b o u l e v e r s é . Or, en p r é s e n c e d ' é t a t s discrets,
les m é t é o r o l o g i s t e s ont souvent tenté d e postuler des transitions régies p a r des
chaînes d e M a r k o v : un e x a m e n critique des idées acquises d a n s ce d o m a i n e est d o n c
indispensable.
N o u s t e r m i n o n s ce p a r a g r a p h e p a r un bref aperçu de la théorie de prédiction
non-linéaire (voir par e x e m p l e T s o n i s , 1992). Soient X(t ), ...X(tJ
les valeurs d'une
variable X a u x instants t, ...
N o u s v o u l o n s effectuer la «meilleure» p r é d i c tion de la valeur X(t
J p e r m i s e p a r la c o n n a i s s a n c e de la série temporelle
| X{t), i = 1 N \ dans son e n s e m b l e . A cet effet n o u s d é p l o y o n s cette série d a n s
un espace des p h a s e s p a r la m é t h o d e de la reconstruction d y n a m i q u e esquissée plus
haut. Le point de l ' e s p a c e d e s p h a s e s c o r r e s p o n d a n t à l'état à prédire s ' y trouve
entouré d ' u n certain n o m b r e de voisins p r o c h e s qui c o r r e s p o n d e n t à d e s états
antérieurs dans la série, et dont on connaît par c o n s é q u e n t l ' i m a g e après un ou
plusieurs intervalles de t e m p s Dt. En introduisant des facteurs de p o i d s adéquats et
indépendants du t e m p s (différentes variantes d e la m é t h o d e utilisent différents
facteurs) tenant c o m p t e d e s distances entre le point à prédire et s e s voisins, on
reconstitue ainsi la position p r é s u m é e du point en question après Dt. D e s e x p é r i e n c e s
n u m é r i q u e s sur d e s séries e n g e n d r é e s par d e s m o d è l e s m a t h é m a t i q u e s m o n t r e n t
q u ' e n p r é s e n c e d ' u n e d y n a m i q u e c h a o t i q u e l'erreur m o y e n n e de la prédiction croît
exponentiellement, alors q u e p o u r des processus aléatoires la croissance est très
différente. Il serait certainement instructif d ' a p p l i q u e r cet algorithme a u x séries
m é t é o r o l o g i q u e s c o n s i d é r é e s h a b i t u e l l e m e n t p a r le prévisionniste.
l
N
CONCLUSION
H e n r i Poincaré, père fondateur de la Science du non-linéaire écrivait au début
du siècle : «Il peut arriver que de petites différentes dans les conditions initiales en
engendrent de très grandes dans les phénomènes
finaux; une petite erreur sur les
premières produirait
une erreur énorme sur les derniers. La prédiction
devient
impossible et nous avons le phénomène
fortuit». Cette c o n c e p t i o n visionnaire, à
laquelle souscrirait d ' a i l l e u r s tout praticien d e la prévision n u m é r i q u e du t e m p s , se
trouve a u j o u r d ' h u i a m p l e m e n t justifiée et m ê m e renforcée p a r les progrès c o n s i d é rables a c c o m p l i s d e p u i s , tant sur la théorie fondamentale du c h a o s q u e sur la mise
en évidence de c o m p o r t e m e n t s c o m p l e x e s d a n s des classes très larges d e s y s t è m e s
à l'échelle du laboratoire.
D a n s le présent article nous a v o n s d é v e l o p p é u n e série d ' a r g u m e n t s s u g g é rant fortement q u e la d y n a m i q u e a t m o s p h é r i q u e et climatique p a r t a g e les propriétés
51
L a M é t é o r o l o g i e 8e série - n° 5 - m a r s 1994
essentielles du c h a o s déterministe, et ce bien au-delà de quelques analogies superficielles de t e r m i n o l o g i e . A l o r s q u e la pression scientifique, t e c h n o l o g i q u e et sociale
pour l ' a l l o n g e m e n t de l ' é c h é a n c e de la prévision n u m é r i q u e du t e m p s et du climat
a u g m e n t e , il apparaît de plus en plus indispensable de tenir c o m p t e de l'incertitude
intrinsèque et irréductible de cette prévision. Cette prise de c o n s c i e n c e ne peut se
faire q u ' a u prix d ' u n e révision des idées acquises en matière de modélisation et
d ' o b s e r v a t i o n . Ainsi, des prévisions climatiques à long t e r m e fondées sur une
formulation statique où le système s'ajuste de façon p e r m a n e n t e à un niveau «quasi-stationnaire»
elles doivent être c o m p l é t é e s par des études sur la r é p o n s e d y n a m i q u e du s y s t è m e
tenant c o m p t e c o r r e c t e m e n t de tout le répertoire de c o m p o r t e m e n t s possibles, et
formulées en t e r m e s de probabilité. De m ê m e , l ' i d é e que le système sous-jacent est
un s y s t è m e d y n a m i q u e c o m p l e x e , h a u t e m e n t instable, pourrait avoir des répercussions sur la nature, le n o m b r e de d o n n é e s ou la fréquence d ' é c h a n t i l l o n n a g e , lors des
futures c a m p a g n e s de m e s u r e qui seront entreprises, n o t a m m e n t dans le cadre de
p r o g r a m m e s internationaux. Enfin, o n peut se d e m a n d e r si certains traits essentiels
d ' u n e d y n a m i q u e c o m p l e x e , caractérisée par une distribution fractale des principales o b s e r v a b l e s dans l ' e s p a c e et dans le t e m p s , peuvent être c o r r e c t e m e n t reconstitués à partir des réseaux d ' o b s e r v a t i o n actuels. N o u s s o m m e s c o n v a i n c u s que de
cette m i s e en question naîtront d e s idées et d e s outils susceptibles d e transformer
c o n s i d é r a b l e m e n t notre approche des sciences de la Terre et de l ' E n v i r o n n e m e n t .
BIBLIOGRAPHIE
Barkcr H.W. et B. Van Zyl, 1993 : Corrélation dimension of local, short-term climatic
attractors from observations and a global climate model. J. of Climate, 6, 858-861.
Cane M.A. et S.E. Zebiak, 1985 : A theory for the El Nino and the Southern Oscillation.
Science, 228, 1085-1087.
Charney J.G. et J.G. De Vore, 1979 : Multiple flow equilibria in the atmosphère and blocking.
.J. Atmos. ScL, 36, 1205-1216.
Essex C. et M.A.H. Nerenbcrg, 1991 : Comments on deterministic chaos : the science and the
fiction by D. Ruelle. Proc. R. Soc. Lond., A 435, 287-292.
Fraedrich K., 1986 : Estimating the dimensions of weather and climate attractors. J. Atmos.
ScL, 43, 419-432.
Fraedrich K., 1987 : Estimating weather and climate predictability on attractors. J. Atmos. ScL,
44, 722-728.
Grassberger P., 1986 : Do climatic attractors exist ? Nature, 323, 609-612.
Goldhirsch I., P.-L. Sulem et S.A. Orszag, 1987 : Stability and Lyapunov stability of
dynamical Systems : a differential approach and a numerical method. Physica, 27D, 311-337.
Guckenheimer J. et P. Holmes, 1983 : Nonlinear oscillations, dynamical Systems and
bifurcations of vector fields. Springcr, Berlin.
Hansen A.R. et A. Sutera, 1990 : Weather régimes in a gênerai circulation model. J. Atmos.
ScL, 47, 380-391.
Islam S., R.L. Bras et I. Rodriguez-lturbe, 1993 : A possible explanation for low corrélation
dimension estimâtes for the atmosphère. J. Appt. Meteor., 32, 203-208.
Keppenne C L . et C. Nicolis, 1989 : Global properties and local structure of the weather
attractor over western Europe. J. Atmos. ScL, 46, 2356-2370.
Krishnamurty V., B. N. Goswaniet R. Lcgnani, 1993 : Aconceptualmodelfortheaperiodicity
of interannual variability in the tropics. Geophys. Res. Lett., 20, 435-438.
Lasota A. et M. Mackey, 1985 : Probabilislic properties of deterministic Systems. Cambridge
University Press.
Lorenz E. N., 1963 : Deterministic nonperiodic flow.J. Atmos. ScL, 20, 130-141.
Lorenz E. N., 1980 : Attractor sets and quasi-geostrophic equilibrium. J. Atmos. ScL, 37,16851699.
Lorenz E. N., 1982: Low-ordermodclsof atmospheric circulation. J. Meteor. Soc. Japan, 60,
255-267.
Lorenz E. N., 1984 : Irregularity : a fundamental property of the atmosphère. Tellus, 36A, 98110.
Lorenz E. N., 1990 : Can chaos and intransitivity lead to interannual variability ? Tellus, 42A,
378-389.
Maasch K. A., 1989 : Calculating climate attractor dimension from ô 0 records by the
Grassberger-Procaccia algorithm. Climate Dynamics, 4, 45-55.
1K
Nicolis C , 1984 : A plausible model for the synchroneity or the phase shift between climatic
transitions. Geophys. Res. Lett., 11, 587-590.
cor
52
La M é t é o r o l o g i e 8e série - n° 5 - m a r s 1 9 9 4
Nicolis C , 1987 : Long term climatic variability and chaotic dynamics. Tellus, 39A, 1-9.
Nicolis C , 1990 : Chaotic dynamics, Markov processes and climate predictability. Tellus,
42A, 401-412.
Nicolis C. et G. Nicolis, 1984 : Is there a climatic attractor ? Nature, 311, 529-532.
N i c o l i s C. et G. N i c o l i s , 1991 : D y n a m i c s of error g r o w t h in u n s t a b l e Systems. Phys. Rev. ,
43A, 5720-5723.
Nicolis C. et G. Nicolis, 1993 : Finite time behavior of small errors in deterministic chaos and
Lyapunov exponents. Bifurcation and chaos, sous presse.
Nicolis G. et I. Prigogine, 1989 : Exploring complexity, Freeman, New York.
P a l m e r T.N., 1993 : Extended-range atmospheric prediction and the Lorenz model. Bull.
Amer. Meteor. Soc., 74, 49-65.
Royer J.F., R. Stroe et C. Nicolis, 1993 : Croissance de l'erreur d a n s un modèle atmosphérique
simple : c o m p a r a i s o n entre la loi logistique et la loi de Gompertz. C. R.Acad. Sci. Paris, t. 316,
Série II, 193-200.
Ruelle D., 1990 : D e t e r m i n i s t i c chaos : t h e science and the fiction. Proc. R. Soc. Lond., A 427,
241-248.
Saltzman B., A. Sutera et A. Evenson, 1981 : Structural stochastic stability of a simple autooscillatory climate feedback System../. Atmos. Sci., 38, 494-503.
Saltzman B., A. Hansen et K. A. Maasch, 1984 : The late Quaternary glaciations as the
response of a three-component feedback System to earth-orbital forcing. J. Atmos. Sci., 4 1 ,
3380-3389.
Saltzman B., et A. Sutera, 1987 : The mid-Quaternary climatic transition as the free response
of a three variable dynamical model. J. Atmos. Sci., 44, 236-241.
Saltzman B., C. M. Tang et K. Maasch, 1989 : Folded résonance and seasonal vacillation in
a thermally forced baroclinic model. Atmosphera, 2, 131-154.
Sharifi M.B., K.P. Georgakakos et I. Rodriguez-Iturbe, 1990 : Evidence of deterministic
chaos in the puise of storm rainfall. J. Atmos. Sci, 47, 888-893.
Sommerer J.C. et E. Ott, 1993 : A physical System with qualitatively uncertain dynamics.
Nature, 365, 138-140.
Sundermeyer M. et G.K. Vallis, 1993 : Corrélation dimensions of primitive équations and
balanced models. J. Atmos. Sci., 50, 2556-2564.
Thompson P.D., 1957 : Uncertainty of initial state as a factor in the predictability of large-scale
atmospheric flow patterns. Tellus, 9, 275-295.
Tsonis A.A., 1992 : Chaos. From theory to applications.
Plénum, New York.
Tsonis A.A. et J.B. Elsner, 1988 : The weather attractor over very short time scales. Nature,
333, 545-547.
Tsonis A.A., J.B. Elsner et K.P. Georgakatos, 1993 : Estimating the dimension of weather and
climate attractors : important issues about the procédure and interprétation. J. Atmos. Sci., 50,
2549-2555.
Vallis G.K., 1988 : Conceptual models of El Nino and the Southern Oscillation. J. Geophys.
Res., 93, 13979-13991.
Glossaire des termes utilisés
Attracteur : En vertu du second principe de la thermodynamique, un système macroscopique isolé atteint à la limite des
temps longs un régime final stable. Dans l'espace des phases associé au système, la trajectoire tend vers un ensemble de
points, appelé attracteur, qui se transforme en lui-même au cours du temps. L'attracteur peut être une variété Euclidienne,
telle que le point ou la ligne, ou bien une variété fractale.
Chaos : Introduit initialement par les philosophes Grecs pour désigner le vide, ce terme est à présent employé pour décrire
les évolutions apériodiques imprévisibles d'apparence aléatoire. La notion de chaos développé, ou chaos métrique, se
rapporte plus spécifiquement au cas où les lois d'évolution possèdent au moins un exposant de Lyapunov positif, conduisant
à une séparation exponentielle de trajectoires initialement voisines.
Croissance sur-exponentielle : Le taux de croissance de l'écart E au temps t entre deux trajectoires est par définition :
(
= (1/E) dE/dt = d (lnE)/dl
ajt)
Pour une croissance exponentielle pure :
E,=E exp(o t),
o
elf
ce taux de croissance reste constant au cours du temps. Dans le cas général où o (t) varie, on parlera de croissance «surexponentielle» si o (t) augmente au cours du temps (do /dt > 0), et «sous-exponentielle» s'il décroît.
etf
e)(
s)f
Espace des phases : Un espace dont les coordonnées sont l'ensemble des variables indépendantes nécessaires pour
définir l'état d'un système dynamique.
53
La M é t é o r o l o g i e 8e série - n° 5 - m a r s 1994
Exposants de Lyapunov : On les définit en mesurant le taux logarithmique moyen de l'éloignement entre deux trajectoires
initialement voisines, dans la double limite d'une perturbation initiale infinitésimale et d'une trajectoire infiniment longue, soit:
σ= lim lim 1/t ln (δxt/ δxo)
t
∞ δxo>0
δxo et δxt étant respectivement l'écart initial et l'écart au temps t. Cette limite est indépendante du point initial, mais peut
dépendre de l'orientation spatiale de la perturbation initiale, et il y a en général autant d'exposants que de dimensions dans
l'espace des phases. Ils caractérisent la stabilité linéaire globale d'un système dynamique. Les exposants positifs
correspondent aux directions d'instabilité du système (divergence exponentielle des trajectoires), et les exposants négatifs
aux directions selon lesquelles les trajectoires sont attirées vers l'attracteur.
Dimensions généralisées : On peut les définir à partir d'un découpage de l'espace des phases en hypercubes disjoints
de côté ε. On compte le nombre de points p, contenus dans chacune des I cellules non vides qui constituent un recouvrement
de l'attracteur. La dimension Dq (dimension de Rényi) est définie par :
Dq = lim (1/q-1) log (Σpqi)/log ε
e— 0
L'extension de cette formule par continuité à q = 0 et q = 1 redonne la dimension fractale D et la dimension d'information
D,. La dimension D , connue sous le nom de «dimension de corrélation», est reliée à la distribution des distances entre deux
points de l'attracteur. Dans le cas d'un attracteur non homogène (dit «multifractal»), ces distances D sont une fonction
monotone décroissante de q.
Prévisibilité : La possibilité de prévoir le devenir d'un système dynamique à partir des informations relatives à son état
présent.
o
2
q
Propriétés ergodiques : Soit A une grandeur observable d'un système dynamique, généralement fonction de l'état
instantané x (représenté par un point dans l'espace des phases). On définit la moyenne temporelle A de A comme la moyenne
arithmétique des valeurs de A prises sur une longue durée de temps,
_
n
A =lim 1/(nDt)
2A(x(t))
i=1
n—<x>
où n est le nombre de données, prélevées aux instants f, tels que t - t = Dt. En présence d'une dynamique complexe, il
est naturel de recourir à une approche probabiliste, dont la grandeur centrale est la densité de probabilité de trouver le
système en un point x de l'espace des phases. Dans le cadre d'une telle approche on définit la moyenne probabiliste <A>
de A comme la moyenne prise à un instant donné sur un grand nombre de trajectoires émanant des différents points de
l'attracteur, pondérée par la densité de probabilité invariante p des états sur celui-ci.
ui
i
s
<A>=f dxp (x)A(x)
r
s
où r désigne la partie de l'espace des phases délimitée par l'attracteur. Un système est dit ergodique si A = <A>. Les
systèmes chaotiques jouissent souvent de la propriété plus forte dite «de mélange», garantissant qu'une distribution initiale
p(x) dans l'espace des phases tend (dans un sens faible) vers la distribution invariante p sur l'attracteur. Au niveau d'une
observable, la propriété de mélange garantit que la corrélation entre deux valeurs A(ti) eiA(t2) de l'observable tend vers
zéro lorsque le décalage it2-tii tend vers l'infini.
s
Sensibilité aux conditions initiales : Propriété impliquant que deux états initialement voisins sur un attracteur voient par
la suite leur distance augmenter, en moyenne exponentiellement au cours du temps.
Taux local d'éloignement: Il caractérise le taux de croissance de l'écart Ef en un point x de l'attracteur entre une trajectoire
de référence et une trajectoire voisine provenant de l'application d'une petite perturbation initiale (au temps
t = o).
s(x,t) = (1/Et) dEf/dt = lim (1/dt) Ln ( E
dt —o
t+
a/Et)
Ce taux local de croissance peut dépendre non seulement de la position du point sur l'attracteur mais aussi de l'écart initial
entre les deux trajectoires, et du temps pendant lequel les deux trajectoires ont évolué. La moyenne de s(x,t) le long d'une
trajectoire longue, à condition de partir d'une perturbation initiale suffisamment petite pour que l'évolution de l'erreur reste
linéaire, converge vers l'un des exposants de Lyapunov.
Fly UP